Вычислить тройной интеграл, где область интегрирования V задана условиями

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Кратные интегралы (тройной интеграл)

Задание:
Вычислить тройной интеграл:

 \iiint\limits_V y^2 e^{-\frac{xy}{2}} \, dx\,dy\,dz 

где область интегрирования V задана условиями:

 \begin{cases} x = 0 \ y = 2 \ y = 2x \ z = 0 \ z = -1 \end{cases} 

Шаг 1: Описание области интегрирования

Рассмотрим ограничения:

• x от 0 до значения, при котором y = 2x = 2 ⇒ x = 1
• y от 2x до 2
• z от -1 до 0

Итак, область V можно описать следующими пределами:

 0 \le x \le 1,\quad 2x \le y \le 2,\quad -1 \le z \le 0 

Шаг 2: Вычисление интеграла

Порядок интегрирования: сначала по z, затем по y, затем по x.

 \int_{x=0}^{1} \int_{y=2x}^{2} \int_{z=-1}^{0} y^2 e^{-\frac{xy}{2}} \, dz\,dy\,dx 

Функция под интегралом не зависит от z, поэтому:

 \int_{z=-1}^{0} y^2 e^{-\frac{xy}{2}} \, dz = y^2 e^{-\frac{xy}{2}} \cdot (0 - (-1)) = y^2 e^{-\frac{xy}{2}} 

Теперь подставим это в двойной интеграл:

 \int_{x=0}^{1} \int_{y=2x}^{2} y^2 e^{-\frac{xy}{2}} \, dy\,dx 

Шаг 3: Интегрирование по y

Рассмотрим внутренний интеграл:

 \int_{y=2x}^{2} y^2 e^{-\frac{xy}{2}} \, dy 

Сделаем замену: пусть u = \frac{xy}{2} ⇒ y = \frac{2u}{x}, тогда:

 dy = \frac{2}{x} du 

Пределы:

• при y = 2x ⇒ u = \frac{x \cdot 2x}{2} = x^2
• при y = 2 ⇒ u = \frac{x \cdot 2}{2} = x

Тогда интеграл по y:

 \int_{u = x^2}^{x} \left( \left( \frac{2u}{x} \right)^2 \cdot e^{-u} \cdot \frac{2}{x} \right) du = \int_{u = x^2}^{x} \left( \frac{4u^2}{x^2} \cdot e^{-u} \cdot \frac{2}{x} \right) du = \int_{u = x^2}^{x} \left( \frac{8u^2}{x^3} e^{-u} \right) du 

Теперь подставим в интеграл по x:

 \int_{x=0}^{1} \left( \int_{u = x^2}^{x} \frac{8u^2}{x^3} e^{-u} \, du \right) dx 

Шаг 4: Смена порядка интегрирования

Теперь поменяем порядок интегрирования. Область D в плоскости (x,u) определяется:

• 0 \le x \le 1
• x^2 \le u \le x

Поменяем порядок: выразим x через u.

Для этого:

• 0 \le u \le 1
• \sqrt{u} \le x \le 1

Теперь перепишем интеграл:

 \int_{u=0}^{1} \left( \int_{x=\sqrt{u}}^{1} \frac{8u^2}{x^3} e^{-u} \, dx \right) du = \int_{u=0}^{1} 8u^2 e^{-u} \left( \int_{x=\sqrt{u}}^{1} \frac{1}{x^3} dx \right) du 

Внутренний интеграл:

 \int_{\sqrt{u}}^{1} x^{-3} dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{\sqrt{u}}^{1} = \left( -\frac{1}{2} \cdot (1^{-2} - u^{-1}) \right) = \frac{1}{2} \left( u^{-1} - 1 \right) 

Теперь подставим:

 \int_{u=0}^{1} 8u^2 e^{-u} \cdot \frac{1}{2} (u^{-1} - 1) \, du = 4 \int_{0}^{1} u^2 (u^{-1} - 1) e^{-u} \, du = 4 \int_{0}^{1} (u - u^2) e^{-u} \, du 

Шаг 5: Вычисление окончательного интеграла

 4 \int_{0}^{1} (u - u^2) e^{-u} \, du = 4 \left( \int_{0}^{1} u e^{-u} \, du - \int_{0}^{1} u^2 e^{-u} \, du \right) 

Известные интегралы:

• \int_{0}^{1} u e^{-u} du = [ -u e^{-u} ]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-u} du = -e^{-1} + (1 - e^{-1}) = 1 - 2e^{-1}
• \int_{0}^{1} u^2 e^{-u} du = 2 - 5e^{-1} (можно получить по частям или из таблицы)

Тогда:

 4 \left( (1 - 2e^{-1}) - (2 - 5e^{-1}) \right) = 4 ( -1 + 3e^{-1} ) = -4 + 12e^{-1} 

Ответ:

 \boxed{-4 + \dfrac{12}{e}}