Вычислить тройной интеграл, если область V ограничена поверхностями

Предмет: Математика

Раздел: Многомерные интегралы (тройные интегралы)

Дан тройной интеграл:

 \iiint\limits_{V} (3x + 4y) \,dx\,dy\,dz 

Область V ограничена поверхностями:

• y = x,
• y = 0,
• x = 1,
• z = 5(x^2 + y^2),
• z = 0.

1. Определение границ интегрирования

Из условий видно, что z изменяется от 0 до 5(x^2 + y^2).
y изменяется от 0 до x.
x изменяется от 0 до 1.

То есть, область можно записать в виде:

 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq x, \quad 0 \leq z \leq 5(x^2 + y^2). 

2. Запись интеграла

Перепишем интеграл в явном виде:

 \int\limits_0^1 \int\limits_0^x \int\limits_0^{5(x^2 + y^2)} (3x + 4y) \,dz\,dy\,dx. 

3. Вычисление интеграла

Первый интеграл по z:

 \int\limits_0^{5(x^2 + y^2)} (3x + 4y) \,dz = (3x + 4y)z \Big|_0^{5(x^2 + y^2)} = (3x + 4y) \cdot 5(x^2 + y^2). 

Упрощаем:

 5(3x + 4y)(x^2 + y^2). 

Второй интеграл по y:

 \int\limits_0^x 5(3x + 4y)(x^2 + y^2) \,dy. 

Раскрываем скобки:

 5 \int\limits_0^x (3x x^2 + 3x y^2 + 4y x^2 + 4y y^2) \,dy. 

Интегрируем по y:

 5 \left[ 3x x^2 y + 3x \frac{y^3}{3} + 4y x^2 y + 4 \frac{y^3}{3} \right] \Big|_0^x. 

Подставляя y = x:

 5 \left[ 3x^3 x + 3x \frac{x^3}{3} + 4x x^3 + 4 \frac{x^3}{3} \right]. 

Упрощаем:

 5 \left[ 3x^4 + x^4 + 4x^4 + \frac{4x^4}{3} \right] = 5 \left[ \frac{9x^4}{3} + \frac{4x^4}{3} \right] = 5 \cdot \frac{13x^4}{3} = \frac{65x^4}{3}. 

Последний интеграл по x:

 \int\limits_0^1 \frac{65x^4}{3} \,dx = \frac{65}{3} \int\limits_0^1 x^4 \,dx. 

Вычисляем:

 \frac{65}{3} \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_0^1 = \frac{65}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{65}{15} = \frac{13}{3}. 

Ответ:

 \frac{13}{3} .