Вычислить тройной интеграл

Это задание относится к предмету "Высшая математика", раздел "Многомерные интегралы", подраздел "Двойные интегралы".

Нам нужно вычислить двойной интеграл \[ \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy, \] где область интегрирования \( D \) ограничена двумя окружностями: \( x^2 + y^2 = a^2 \) и \( x^2 + y^2 = 4a^2 \).

Шаг 1: Переход в полярные координаты

Для решения этого типа интегралов разумно перейти в полярные координаты. Напомню, что в полярной системе координат:

• \( x = r \cos \theta \),
• \( y = r \sin \theta \),
• \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \),
• \( r^2 = x^2 + y^2 \).

Тогда подынтегральное выражение \( \sqrt{x^2 + y^2} \) при переходе к полярной системе координат станет просто \( r \).

Следовательно, наш интеграл переписывается как: \[ \iint_D r \cdot r \, dr \, d\theta = \iint_D r^2 \, dr \, d\theta. \]

Шаг 2: Определение области интегрирования

Область \( D \) задается расстоянием между двумя окружностями:

• \( x^2 + y^2 = a^2 \) — это окружность с радиусом \( r = a \),
• \( x^2 + y^2 = 4a^2 \) — это окружность с радиусом \( r = 2a \).

Таким образом, радиус \( r \) изменяется от \( a \) до \( 2a \), а угол \( \theta \) изменяется от 0 до \( 2\pi \) (так как речь идет о полном круге).

Шаг 3: Запись интеграла

Теперь интеграл можно выразить в полярных координатах: \[ \int_0^{2\pi} \int_a^{2a} r^2 \, dr \, d\theta. \]

Шаг 4: Вычисление внутреннего интеграла по \( r \)

Вычислим сначала внутренний интеграл по \( r \): \[ \int_a^{2a} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_a^{2a} = \frac{(2a)^3}{3} - \frac{a^3}{3} = \frac{8a^3}{3} - \frac{a^3}{3} = \frac{7a^3}{3}. \]

Шаг 5: Вычисление внешнего интеграла по \( \theta \)

Теперь вычислим внешний интеграл: \[ \int_0^{2\pi} \frac{7a^3}{3} \, d\theta = \frac{7a^3}{3} \cdot \theta \Big|_0^{2\pi} = \frac{7a^3}{3} \cdot 2\pi = \frac{14\pi a^3}{3}. \]

Ответ: Результат вычисления двойного интеграла:

\[ \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \frac{14\pi a^3}{3}. \]