Вычислить суммы знакопеременного числового ряда

Этот пример относится к дисциплине математического анализа, раздела по работе с рядами (например, суммирование рядов). Задание требует вычисления суммы знакопеременного числового ряда. Данная сумма выглядит следующим образом:

\[ \sum (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \] Будем анализировать этот ряд.

1. Формулировка ряда:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \] Это знакопеременный ряд, так как в его формуле присутствует член \((-1)^n\), который принимает значения +1 и -1, в зависимости от \(n\).

2. Проверим сходимость ряда с помощью признака Лейбница для знакопеременных рядов.

Признак Лейбница гласит, что знакопеременный ряд вида \(\sum (-1)^n a_n\) (где \(a_n > 0\)) сходится, если:

• a) \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)
• б) \(a_n\) монотонно убывает (то есть \(a_{n+1} \leq a_n\))

В нашем случае \(a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\). Проведем проверки:

• Первое условие: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \] Условие выполнено.
• Второе условие: Проверим монотонность \(a_n\):

\[ \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}} \] Так как числитель \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\) всегда положительное при любых \(n>0\), \(a_n\) убывает.

3. Оба условия признака Лейбница выполнены, следовательно, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}\) сходится.

Полное вычисление суммы этих рядов сложней и не всегда возможно в общем виде, но можно уверенно утверждать, что данный ряд сходится.