Вычислить статистический момент (в данном случае — момент инерции) однородной пластины ( D ), ограниченной заданными линиями

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — кратные интегралы, полярные координаты, механика сплошных сред (статистические моменты)

Задача 4:
Вычислить статистический момент (в данном случае — момент инерции) однородной пластины ( D ), ограниченной заданными линиями:

• ( x^2 + y^2 - 2a x = 0 )
• ( x + y \leq 0 )
• ( x \geq 0 ) (т.е. ограничение по оси ( Oy ))

и просят использовать полярные координаты.

Шаг 1: Анализ области ( D )

Уравнение:

[x^2 + y^2 - 2a x = 0]

можно переписать как:

[x^2 - 2a x + y^2 = 0 \Rightarrow (x - a)^2 + y^2 = a^2]

Это окружность с центром в точке ( (a, 0) ) и радиусом ( a ).

Теперь ограничим область:

• ( x + y \leq 0 ) — это полуплоскость ниже прямой ( x + y = 0 )
• ( x \geq 0 ) — правая полуплоскость
• ( x^2 + y^2 - 2a x = 0 ) — сама окружность

То есть нас интересует часть окружности, лежащая внутри круга, и при этом в области:

• ( x + y \leq 0 )
• ( x \geq 0 )

Шаг 2: Переход к полярным координатам

Переход к полярным координатам:

 \begin{cases} x = r \cos \theta \ y = r \sin \theta \end{cases} 

Уравнение окружности:

 x^2 + y^2 - 2a x = 0 \Rightarrow r^2 - 2a r \cos \theta = 0 \Rightarrow r = 2a \cos \theta 

Теперь определим границы угла ( \theta ), при которых:

• ( x + y = r(\cos \theta + \sin \theta) \leq 0 )
• ( x = r \cos \theta \geq 0 )

Из неравенства ( \cos \theta + \sin \theta \leq 0 ), найдём допустимый диапазон углов:

 \theta \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right] 

Но с учётом условия ( x = r \cos \theta \geq 0 ), т.е. ( \cos \theta \geq 0 ), остаётся:

\theta \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right]

(на самом деле, ( \cos \theta \geq 0 ) только при ( \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] ), но мы ищем пересечение с условием ( \cos \theta + \sin \theta \leq 0 ), и оно даёт нам нужный сектор)

Однако, при более точном анализе видно, что область находится в левом нижнем секторе круга, т.е. ( \theta \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right] )

Шаг 3: Формула для момента инерции

Пусть требуется найти момент инерции относительно оси ( Oy ), тогда:

 I_y = \iint\limits_D x^2 \, dA 

В полярных координатах:

 x = r \cos \theta \Rightarrow x^2 = r^2 \cos^2 \theta 

Элемент площади:

 dA = r \, dr \, d\theta 

Тогда интеграл:

 I_y = \int_{\theta = \frac{3\pi}{4}}^{\pi} \int_{r=0}^{2a \cos \theta} r^2 \cos^2 \theta \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \cos^2 \theta \int_0^{2a \cos \theta} r^3 \, dr \, d\theta 

Вычислим внутренний интеграл:

 \int_0^{2a \cos \theta} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{2a \cos \theta} = \frac{(2a \cos \theta)^4}{4} = \frac{16a^4 \cos^4 \theta}{4} = 4a^4 \cos^4 \theta 

Теперь подставим:

 I_y = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \cos^2 \theta \cdot 4a^4 \cos^4 \theta \, d\theta = 4a^4 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \cos^6 \theta \, d\theta 

Шаг 4: Вычисление интеграла

Вычислим:

 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \cos^6 \theta \, d\theta 

Для этого используем понижение степени:

 \cos^6 \theta = \left( \cos^2 \theta \right)^3 = \left( \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right)^3 

Но проще воспользоваться таблицей:

 \int \cos^6 \theta \, d\theta = \frac{5}{16} \theta + \frac{15}{64} \sin 2\theta + \frac{3}{64} \sin 4\theta + \frac{1}{192} \sin 6\theta + C 

Подставим пределы:

 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \cos^6 \theta \, d\theta = \left[ \frac{5}{16} \theta + \frac{15}{64} \sin 2\theta + \frac{3}{64} \sin 4\theta + \frac{1}{192} \sin 6\theta \right]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} 

Подставим значения:

Для ( \theta = \pi ):

• ( \sin 2\pi = 0 ), ( \sin 4\pi = 0 ), ( \sin 6\pi = 0 )

Для ( \theta = \frac{3\pi}{4} ):

• ( \sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1 )
• ( \sin \left( 3\pi \right) = 0 )
• ( \sin \left( \frac{9\pi}{2} \right) = 1 )

Подставим:

 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \cos^6 \theta \, d\theta = \left( \frac{5}{16} \pi \right) - \left( \frac{5}{16} \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{15}{64} \cdot (-1) + \frac{1}{192} \cdot 1 \right) 

Вычислим:

• ( \frac{5}{16} \pi - \frac{15}{64} (-1) - \frac{1}{192} )
• ( \frac{5}{16} \pi - \left( \frac{15\pi}{64} + \left(-\frac{15}{64}\right) + \frac{1}{192} \right) )

В результате:

 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \cos^6 \theta \, d\theta = \frac{5\pi}{16} - \frac{15\pi}{64} + \frac{15}{64} - \frac{1}{192} = \left( \frac{20\pi - 15\pi}{64} \right) + \left( \frac{15}{64} - \frac{1}{192} \right) = \frac{5\pi}{64} + \left( \frac{45 - 1}{192} \right) = \frac{5\pi}{64} + \frac{44}{192} = \frac{5\pi}{64} + \frac{11}{48} 

Шаг 5: Финальный ответ

 I_y = 4a^4 \left( \frac{5\pi}{64} + \frac{11}{48} \right) 

Приведём к общему знаменателю:

 \frac{5\pi}{64} + \frac{11}{48} = \frac{15\pi}{192} + \frac{44}{192} = \frac{15\pi + 44}{192} 

Итак, окончательный ответ:

 \boxed{I_y = \frac{4a^4}{1} \cdot \frac{15\pi + 44}{192} = \frac{a^4 (15\pi + 44)}{48}}