Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Дадим краткое введение: это задание относится к предмету математического анализа, а именно к разделу интегрального исчисления. Необходимо вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми \(y = e^x\), \(y = e^{-x}\) и прямой \(x=1\).

Шаг 1: Найти точки пересечения кривых

Для этого приравняем функции: \[ e^x = e^{-x} \]

Решим полученное уравнение: \[ e^x \cdot e^x = 1 \]

Следовательно, точки пересечения кривых \(y = e^x\) и \(y = e^{-x}\) находятся при \(x = 0\).

Шаг 2: Формулирование задачи на определенный интеграл

Площадь фигуры, ограниченной кривыми, можно найти с помощью интеграла. Определим пределы интегрирования: от \(x=0\) до \(x=1\) (поскольку \(x=1\) задаёт правую границу области). Площадь между функциями \(y = e^x\) и \(y = e^{-x}\) вычисляется как разность интегралов этих функций: \[ A = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \, dx \]

Шаг 3: Вычисление интеграла

Рассмотрим данный интеграл отдельно каждая функция: \[ \int (e^x - e^{-x}) \, dx \]

Проинтегрируем каждую составную часть: \[ \int e^x \, dx = e^x \]

\[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} \]

Итоговой интеграл будет: \[ \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x - (-e^{-x}) \right]_{0}^{1} \]

\[ = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{1} \]

\[ = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^{0}) \]

\[ = (e + \frac{1}{e}) - 2 \]

Шаг 4: Ответ

Итак, площадь данной плоской фигуры равна: \[ A = e + \frac{1}{e} - 2 \]