Вычислить с помощью определенного интеграла: - длину дуги кривой

Это задание относится к предмету "Высшая математика" и разделу "Определенные интегралы" и "Криволинейные координаты".

Длина дуги кривой в полярных координатах выражается как: \( L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d\rho}{d\varphi}\right)^2 + \rho^2} \,d\varphi, \) где \( \rho = 2\sin\varphi \), \( 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{6} \).

1. Вычислим производную \(\frac{d\rho}{d\varphi}\):

\( \rho = 2 \sin \varphi \)
\( \frac{d\rho}{d\varphi} = 2 \cos \varphi \)

2. Подставим \(\frac{d\rho}{d\varphi}\) и \(\rho\) в формулу для длины дуги:

\( L = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{(2 \cos \varphi)^2 + (2 \sin \varphi)^2} \,d\varphi \)

3. Упростим подкоренное выражение:

\( (2 \cos \varphi)^2 + (2 \sin \varphi)^2 = 4 \cos^2 \varphi + 4 \sin^2 \varphi \)
\( = 4(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) \)
\( = 4 \cdot 1 = 4 \)

4. Интеграл примет вид:

\( L = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{4} \,d\varphi \)
\( = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 2 \,d\varphi \)

5. Вычислим интеграл:

\( L = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \,d\varphi \)
\( = 2 \left[ \varphi \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \)
\( = 2 \left( \frac{\pi}{6} - 0 \right) \)
\( = 2 \cdot \frac{\pi}{6} \)
\( = \frac{\pi}{3} \)

Таким образом, длина дуги данной кривой равна \( \frac{\pi}{3} \).