Вычислить приближённое значение используя метод дифференциала

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Детальное решение задачи:

Нам нужно вычислить приближённое значение \(\sqrt[4]{75}\) (корня четвёртой степени из 75), используя метод дифференциала.

1. Задание функции:

Функция для вычисления корня четвёртой степени: \[ f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}. \]

2. Формула для приближения (метод дифференциала):

Используем линейное приближение: \[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a), \]

где:

• \(a\) — точка, близкая к \(x = 75\), для которой значение функции известно.
• \(f'(x)\) — производная функции \(f(x)\).

Выберем ближайшее значение \(a = 81\), так как \(\sqrt[4]{81} = 3\) известно.

3. Вычисление производной \(f(x)\):

Дифференцируем функцию \(f(x) = x^{\frac{1}{4}}\):

\[ f'(x) = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}. \]

4. Значения при \(a = 81\):

• Значение функции: \[ f(81) = \sqrt[4]{81} = 3. \]
• Значение производной: \[ f'(81) = \frac{1}{4 \cdot \sqrt[4]{81^3}} = \frac{1}{4 \cdot 27} = \frac{1}{108}. \]

5. Вычисление приближённого значения:

Подставим в формулу линейного приближения: \[ f(75) \approx f(81) + f'(81) \cdot (75 - 81). \]

Подставляем значения: \[ f(75) \approx 3 + \frac{1}{108} \cdot (75 - 81). \]

Посчитаем разность \(75 - 81 = -6\):

\[ f(75) \approx 3 + \frac{1}{108} \cdot (-6). \]

\[ f(75) \approx 3 - \frac{6}{108} = 3 - 0.0556 = 2.944. \]

Ответ:

Приближённое значение \(\sqrt[4]{75} \approx 2.944\). Округлённое значение до \(0.001\):

\[ \boxed{2.944}. \]