Вычислить приближенно с точностью до 0,001 определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Этот пример относится к курсу математического анализа, к теме интегралы и ряды.

Для его решения, воспользуемся разложением функции \(\cos\left(\frac{10x^2}{3}\right)\) в степенной ряд и затем проинтегрируем получившийся ряд. Функция \(\cos(x)\) может быть разложена в степенной ряд следующим образом: \[ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \] Следовательно, подынтегральную функцию \(\cos\left(\frac{10x^2}{3}\right)\) можно разложить в ряд: \[ \cos\left(\frac{10x^2}{3}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \left(\frac{10x^2}{3}\right)^{2n}}{(2n)!} \] Теперь интегрируем каждый член этого ряда по \(x\) от 0 до 0,3: \[ \int_0^{0,3} \cos\left(\frac{10x^2}{3}\right) \, dx = \int_0^{0,3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \left(\frac{10x^2}{3}\right)^{2n}}{(2n)!} \, dx \] Интеграция суммы равна сумме интегралов: \[ = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{0,3} \frac{(-1)^n \left(\frac{10x^2}{3}\right)^{2n}}{(2n)!} \, dx \] Рассмотрим интеграл для произвольного \(n\)-ого члена суммы: \[ \int_0^{0,3} \frac{(-1)^n \left(\frac{10x^2}{3}\right)^{n}}{(2n)!} \, dx \] Вынесем множители за знак интеграла: \[ = \frac{(-1)^n \left(\frac{10}{3}\right)^n}{(2n)!} \int_0^{0,3} x^{2n} \, dx \] Теперь вычислим интеграл \(\int_0^{0,3} x^{2n} \, dx\): \[ \int_0^{0,3} x^{2n} \, dx = \left[ \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right]_0^{0,3} = \frac{(0,3)^{2n+1}}{2n+1} \] Таким образом, \[ \frac{(-1)^n \left(\frac{10}{3}\right)^n}{(2n)!} \cdot \frac{(0,3)^{2n+1}}{2n+1} \] и общий интеграл будет равен \[ \int_0^{0,3} \cos\left(\frac{10x^2}{3}\right) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \left(\frac{10}{3}\right)^n (0,3)^{2n+1}}{(2n+1)(2n)!} \] Ограничим сумму несколькими первыми членами, чтобы получить приближенное значение с заданной точностью. Вычислим сумму для \(n = 0, 1, 2\): Для \(n=0\): \[ \frac{(-1)^0 \left(\frac{10}{3}\right)^0 (0,3)^{1}}{1(0)!} = 0,3 \] Для \(n=1\): \[ \frac{(-1)^1 \left(\frac{10}{3}\right)^1 (0,3)^{3}}{3 \cdot 2!} = -\frac{10 \cdot (0,3)^3}{3 \cdot 6} = -\frac{10 \cdot 0,027}{18} = -0,015 \] Для \(n=2\): \[ \frac{(-1)^2 \left(\frac{10}{3}\right)^2 (0,3)^5}{5 \cdot 4!} = \frac{100 \cdot (0,3)^5}{3^2 \cdot 120} = \frac{100 \cdot 0,00243}{1080} = 0,000225 \] Теперь сложим все три члена: \[ 0,3 - 0,015 + 0,000225 = 0,285225 \] Итак, приближенное значение интеграла с точностью до 0.001 равно \(0.285\).