Вычислить пределы функции не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Данная задача относится к предмету математический анализ, разделу пределы функций.

Условие задачи:

Нам нужно вычислить предел функции при \( x \to \infty \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 5x}{x^2 + 4x + 3} \]

с помощью методов алгебраической обработки, не применяя дифференциальное исчисление.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Оценка степени многочленов в числителе и знаменателе:
   • В числителе выражение: \( -3x^2 + 5x \). Старшая степень — это \( x^2 \).
   • В знаменателе выражение: \( x^2 + 4x + 3 \). Старшая степень также \( x^2 \).

   Так как и числитель, и знаменатель имеют одну и ту же старшую степень \( x^2 \), нужно упростить выражение, разделив все члены на \( x^2 \), что является старшей степенью.

2. Шаг 2: Деление на \( x^2 \):

   Разделим каждый член числителя и знаменателя на \( x^2 \):

   \[ \frac{-3x^2 + 5x}{x^2 + 4x + 3} = \frac{-3 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} \]

3. Шаг 3: Предел дробей при \( x \to \infty \):

   Когда \( x \to \infty \), все дроби со знаменателем \( x \) устремляются к нулю:

   \[ \frac{5}{x} \to 0,\quad \frac{4}{x} \to 0,\quad \frac{3}{x^2} \to 0. \]

   Следовательно, данное выражение становится:

   \[ \frac{-3 + 0}{1 + 0 + 0} = \frac{-3}{1} = -3. \]

Ответ:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 5x}{x^2 + 4x + 3} = -3. \]

Объяснение:

Мы упростили выражение, разделив числитель и знаменатель на максимальную степень переменной \( x^2 \), а затем вычислили предел каждой из оставшихся дробей, учитывая, что при больших значениях \( x \) все члены с малой степенью \( x \) становятся несущимися к нулю.