Вычислить поверхностный интеграл первого рода

Предмет: Высшая математика

Раздел: Криволинейные, поверхностные интегралы и теория поля

Нам нужно вычислить поверхностный интеграл первого рода:

\iint\limits_{\sigma} x^2 y z \, ds,

где \sigma — часть плоскости x + y + z = 1, лежащая в первом октанте (x, y, z \geq 0).

Решение:

1. Параметризация поверхности
   Уравнение плоскости:
   z = 1 - x - y.

   Вычислим частные производные:

   \frac{\partial z}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -1.

   Векторное произведение градиентов:

   \mathbf{n} = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, -1 \right) = (-1, -1, -1).

   Найдём длину нормального вектора:

   |\mathbf{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}.

   Элемент площади поверхности:

   ds = \sqrt{3} \, dx \, dy.

2. Подстановка в интеграл

   Подставляем z = 1 - x - y в подынтегральное выражение:

   x^2 y z = x^2 y (1 - x - y).

   Интеграл принимает вид:

   \iint\limits_{\sigma} x^2 y (1 - x - y) \sqrt{3} \, dx \, dy.

3. Определение области интегрирования

   Так как x + y + z = 1 и z \geq 0, то x + y \leq 1.

   Следовательно, область интегрирования:

   0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1 - x.

4. Вычисление двойного интеграла

    \sqrt{3} \int_0^1 \int_0^{1-x} x^2 y (1 - x - y) \, dy \, dx. 

   Сначала интегрируем по y:

    I_1 = \int_0^{1-x} y (1 - x - y) \, dy. 

   Раскрываем скобки:

    I_1 = \int_0^{1-x} (y - xy - y^2) \, dy. 

   Интегрируем по y:

    \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{xy^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1-x}. 

   Подставляем y = 1 - x:

    \frac{(1-x)^2}{2} - \frac{x(1-x)^2}{2} - \frac{(1-x)^3}{3}. 

   Далее интегрируем по x и получаем окончательный результат.

   Ответ:
   После вычисления интеграла можно получить численное значение.