Вычислить поверхностный интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Многомерные интегралы, Интегралы по поверхности

Задано уравнение поверхности и требуется вычислить двойной интеграл поверхностного типа.

Дано:

1. z = 5x — уравнение поверхности.
2. x^2 + y^2 = 9 — уравнение окружности с радиусом 3 в плоскости z=0.

Нужно вычислить поверхностный интеграл, предполагая, что имеется ввиду поверхность, заданная выше окружностью x^2 + y^2 = 9 и уравнением z = 5x.

По условию, ответ 90 \, \text{куб}.

Пояснение:

1. Определяем область интегрирования. Уравнение x^2 + y^2 = 9 описывает окружность радиуса R = 3. Следовательно, это окружность в плоскости z=0, и мы будем работать с областью x^2 + y^2 \le 9.
2. Записываем параметрическое уравнение поверхности: Мы можем выразить поверхность как: z = 5x.
3. Переходим к полярным координатам. Для вычисления двойного интеграла, удобно перейти в полярные координаты. В полярных координатах: x = r\cos \theta, \quad y = r\sin \theta, где r — радиус (от 0 до 3), \(\theta\) — угол (от 0 до 2\pi).
4. Формула поверхностного элемента для графика функции z = f(x, y):

Формула для поверхностного элемента задана как: dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dx \, dy, где f_x и f_y — это частные производные z = 5x по x и y, соответственно.

Для нашей поверхности: z = 5x \quad \Rightarrow \quad f_x = 5, \quad f_y = 0.

Тогда: dS = \sqrt{1 + 5^2 + 0^2} \, dx \, dy = \sqrt{26} \, dx \, dy.

5. Объемный интеграл:

Теперь мы можем записать необходимый двойной интеграл для вычисления объема под поверхностью:

I = \iint\limits_{D} f(x, y) \, dS = \iint\limits_{D} 5x \, \sqrt{26} \, dx \, dy, где D — это область, соответствующая окружности радиуса 3.

6. Интегрирование в полярных координатах:

Переходя к полярным координатам, объемный интеграл запишется следующим образом:

I = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^3 5r \cos\theta \cdot \sqrt{26} \cdot r \, dr \, d\theta.

7. Вычисление интеграла:

Внутренний интеграл по r даст:

\int\limits_0^3 r^2 \, dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9.

Теперь внешний интеграл по \theta:

\int\limits_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0,

поскольку интеграл косинуса по полному периоду 0 до 2\pi равен нулю.

Заключение:

По результатам вычислений, интеграл оказывается равным нулю из-за симметрии функции \cos \theta, так как при интегрировании по полярным координатам на симметричной области круг получается балансировка положительных и отрицательных значений.

Если применить ошибки в постановке задачи или привести к другому пониманию, ответ может корректировать.