Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями.

Пример 1:

С помощью определённого интеграла вычислить площадь области D, ограниченной заданными линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

Решение от преподавателя:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

построить схематический чертеж в декартовых координатах.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Сделать чертеж области, ограниченной заданными линиями. Вычислить площадь полученной фигуры

Решение от преподавателя:

Построим область, площадь которой необходимо найти, заштрихуем искомую фигуру.

Затем найдём ординаты точек пересечения кривой и прямой.

Для этого приравняем правые части уравнений 

 и прямой 

и решим полученное квадратное уравнение

Корни этого уравнения  

Применим формулу:

Вычислим искомую площадь:

Ответ:

 

 

Пример 7:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

используя двойной интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Найти площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат играфиком функции

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямыми .

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Вычислить площадь фигуры ограниченную линиями:

y=sinx, y = cosx, x = 0.

Решение от преподавателя:

Расмотрим два случая:

а) точка

Согласно критерию Лебега, функция интегрируема, если существует конечное число точек разрыва (в данном случае 1)

б) входит

Пример 15:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

построить схематический чертеж в декартовых координатах.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  используя двойной интеграл.

Решение от преподавателя:

 

=0,5238 кв. ед.

Пример 23:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x²  =  y +2 и y =-x.

Решение от преподавателя:

y=x² - 2 и y =-x

Построим графики функций:

Пример 24:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=4x-x² ;  y=0

Решение от преподавателя:

Вначале построим фигуру, ограниченную данными линиями:

Искомая площадь находится по формуле

Ответ: Площадь искомой фигуры 32/3 (ед²).

Пример 25:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Решение от преподавателя:

Построим фигуру:

Находим точки пересечения:

Искомая площадь состоит из двух одинаковых частей, поэтому достаточно найти площадь одной из них и умножить на 2:

Ответ:

Пример 26:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и расположенной в первой четверти координатной плоскости. Сделать чертеж.

Решение от преподавателя:

Сначала сделаем схематичный чертёж. Построим график функции

Искомую площадь вычислим при помощи определённого интеграла.

Ответ:

Пример 27:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

 

Пример 28:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой .

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти площадь фигуры, ограниченной линией:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя: