Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями

Задание

Задание относится к предмету математика, а конкретно к разделу анализа, подразделу определённый интеграл. Наша цель — вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

• Функция: \( y = 3 + \sin x \)
• Прямая: \( y = 0 \) (ось Ox)
• Вертикальные линии: \( x = -2\pi \) и \( x = -\frac{3}{2}\pi \)

1. Постановка задачи

Площадь криволинейной трапеции, заключённой между графиком функции \( y = f(x) \), осью Ox и вертикальными границами \( x = a \) и \( x = b \), можно вычислить как определённый интеграл от \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \).

Функция, которая задаёт верхнюю границу фигуры — это \( y = 3 + \sin x \), а нижняя граница — это ось Ox, которая соответствует \( y = 0 \). Для определения площади используем формулу для расчёта площади через определённый интеграл:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \]

2. Формирование интеграла

В нашем случае:

• \( f(x) = 3 + \sin x \)
• \( a = -2\pi \)
• \( b = -\frac{3}{2}\pi \)

Следовательно, площадь выражается интегралом:

\[ S = \int_{-2\pi}^{-\frac{3}{2}\pi} (3 + \sin x) \, dx \]

3. Вычисление интеграла

Рассмотрим отдельно каждую часть функции \( 3 + \sin x \) относительно интегрирования.

Интеграл от постоянной \( 3 \):

\[ \int (3) \, dx = 3x \]

Интеграл от \( \sin x \):

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x \]

Теперь можем объединить результаты интегрирования:

\[ \int_{-2\pi}^{-\frac{3}{2}\pi} (3 + \sin x) \, dx = \left[ 3x - \cos x \right]_{-2\pi}^{-\frac{3}{2}\pi} \]

4. Подстановка пределов интегрирования

Теперь подставляем пределы \( -2\pi \) и \( -\frac{3}{2}\pi \) в найденное выражение.

1. Подставляем \( x = -\frac{3}{2}\pi \):

\[ 3 \left( -\frac{3}{2}\pi \right) - \cos\left( -\frac{3}{2}\pi \right) = -\frac{9}{2}\pi - \cos\left( -\frac{3}{2}\pi \right) \]

Так как \( \cos\left( -\frac{3}{2}\pi \right) = 0 \), то:

\[ -\frac{9}{2}\pi - 0 = -\frac{9}{2}\pi \]

2. Подставляем \( x = -2\pi \):

\[ 3(-2\pi) - \cos(-2\pi) = -6\pi - \cos(-2\pi) \]

Так как \( \cos(-2\pi) = 1 \), то:

\[ -6\pi - 1 = -6\pi - 1 \]

Теперь можем найти разницу значений на концах интервала:

\[ S = \left( -\frac{9}{2}\pi \right) - \left( -6\pi - 1 \right) \]

Упрощаем выражение:

\[ S = -\frac{9}{2}\pi + 6\pi + 1 \]

Приводим \( 6\pi \) к общей дроби:

\[ S = -\frac{9}{2}\pi + \frac{12}{2}\pi + 1 = \frac{3}{2}\pi + 1 \]

5. Ответ

Площадь фигуры равна: