Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями

Задание

Задание относится к предмету математика, а конкретно к разделу анализа, подразделу определённый интеграл. Наша цель — вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

• Функция: $\text{(}y=3+\sin x\text{)}$
• Прямая: $\text{(}y=0\text{)}$ (ось Ox)
• Вертикальные линии: $\text{(}x=-2\pi \text{)}$ и $\text{(}x=-\frac{3}{2}\pi \text{)}$

1. Постановка задачи

Площадь криволинейной трапеции, заключённой между графиком функции $\text{(}y=f(x)\text{)}$, осью Ox и вертикальными границами $\text{(}x=a\text{)}$ и $\text{(}x=b\text{)}$, можно вычислить как определённый интеграл от $\text{(}f(x)\text{)}$ на отрезке $\text{(}[a,b]\text{)}$.

Функция, которая задаёт верхнюю границу фигуры — это $\text{(}y=3+\sin x\text{)}$, а нижняя граница — это ось Ox, которая соответствует $\text{(}y=0\text{)}$. Для определения площади используем формулу для расчёта площади через определённый интеграл:

$\text{[}S={\int }_a^{b}f(x)dx\text{]}$

2. Формирование интеграла

В нашем случае:

• $\text{(}f(x)=3+\sin x\text{)}$
• $\text{(}a=-2\pi \text{)}$
• $\text{(}b=-\frac{3}{2}\pi \text{)}$

Следовательно, площадь выражается интегралом:

$\text{[}S={\int }_{-2\pi }^{-\frac{3}{2}\pi }(3+\sin x)dx\text{]}$

3. Вычисление интеграла

Рассмотрим отдельно каждую часть функции $\text{(}3+\sin x\text{)}$ относительно интегрирования.

Интеграл от постоянной $\text{(}3\text{)}$:

$\text{[}\int (3)dx=3x\text{]}$

Интеграл от $\text{(}\sin x\text{)}$:

$\text{[}\int \sin xdx=-\cos x\text{]}$

Теперь можем объединить результаты интегрирования:

$\text{[}{\int }_{-2\pi }^{-\frac{3}{2}\pi }(3+\sin x)dx={[3x-\cos x]}_{-2\pi }^{-\frac{3}{2}\pi }\text{]}$

4. Подстановка пределов интегрирования

Теперь подставляем пределы $\text{(}-2\pi \text{)}$ и $\text{(}-\frac{3}{2}\pi \text{)}$ в найденное выражение.

1. Подставляем $\text{(}x=-\frac{3}{2}\pi \text{)}$:

$\text{[}3(-\frac{3}{2}\pi )-\cos (-\frac{3}{2}\pi )=-\frac{9}{2}\pi -\cos (-\frac{3}{2}\pi )\text{]}$

Так как $\text{(}\cos (-\frac{3}{2}\pi )=0\text{)}$, то:

$\text{[}-\frac{9}{2}\pi -0=-\frac{9}{2}\pi \text{]}$

2. Подставляем $\text{(}x=-2\pi \text{)}$:

$\text{[}3(-2\pi )-\cos (-2\pi )=-6\pi -\cos (-2\pi )\text{]}$

Так как $\text{(}\cos (-2\pi )=1\text{)}$, то:

$\text{[}-6\pi -1=-6\pi -1\text{]}$

Теперь можем найти разницу значений на концах интервала:

$\text{[}S=(-\frac{9}{2}\pi )-(-6\pi -1)\text{]}$

Упрощаем выражение:

$\text{[}S=-\frac{9}{2}\pi +6\pi +1\text{]}$

Приводим $\text{(}6\pi \text{)}$ к общей дроби:

$\text{[}S=-\frac{9}{2}\pi +\frac{12}{2}\pi +1=\frac{3}{2}\pi +1\text{]}$

5. Ответ

Площадь фигуры равна: