Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Это задание по математике, раздел интегральное исчисление.

Задание состоит в том, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \). Для нахождения площади области, ограниченной кривыми, необходимо вычислить определенный интеграл от разности функций, которые описывают эти кривые.

1. Найдем пределы интегрирования. Для этого решим уравнение \( \sqrt{x} = x \).
   • \[ x = x^2 \]
   • \[ x^2 - x = 0 \]
   • \[ x(x - 1) = 0 \] Таким образом, \( x = 0 \) и \( x = 1 \) — это точки пересечения линий.
2. Функция \( y = x \) выше функции \( y = \sqrt{x} \) в интервале от 0 до 1. Поэтому интеграл будет: \[ \int_0^1 (x - \sqrt{x}) \, dx \]
3. Разделим интеграл на два и выразим каждую часть отдельно: \[ \int_0^1 x \, dx - \int_0^1 \sqrt{x} \, dx \]
4. Вычислим первый интеграл: \[ \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \]
5. Вычислим второй интеграл: \[ \int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \int_0^1 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 = \frac{2}{3} \]
6. Теперь разность двух интегралов: \[ \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3}{6} - \frac{4/6} = -\frac{1}{6} \] Площадь области должна быть положительной, так как площадь не может быть отрицательной. Поэтому площадь равна \( \frac{1}{6} \).

Ответ: 1) \( \frac{1}{6} \).