Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Нам нужно решить систему уравнений: \[ \frac{6}{x} = 7 - x. \] Переносим все в одну сторону: \[ \frac{6}{x} + x = 7. \] Умножим всё уравнение на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \[ 6 + x^2 = 7x. \] Приведем уравнение к виду квадратного: \[ x^2 - 7x + 6 = 0. \] Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25. \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}. \] Значения \( x \): \[ x_1 = \frac{7+5}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{7-5}{2} = 1. \] Значит, кривые пересекаются в точках \( x = 1 \) и \( x = 6 \).
Для нахождения площади, ограниченной двумя кривыми, нужно вычислить разность интегралов между ними на отрезке \( [1;6] \): Площадь \( S \) равна \[ S = \int_{1}^{6} \left( (7 - x) - \frac{6}{x} \right) dx. \] Упростим подынтегральное выражение: \[ S = \int_{1}^{6} (7 - x - \frac{6}{x}) \, dx. \]
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: \[ S = \int_{1}^{6} 7 \, dx - \int_{1}^{6} x \, dx - \int_{1}^{6} \frac{6}{x} \, dx. \] 1. Интеграл от константы: \[ \int_{1}^{6} 7 \, dx = 7x \bigg|_1^6 = 7(6 - 1) = 35. \] 2. Интеграл от \( x \): \[ \int_{1}^{6} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_1^6 = \frac{6^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{36}{2} - \frac{1}{2} = 18 - 0.5 = 17.5. \] 3. Интеграл от \( \frac{6}{x} \): \[ \int_{1}^{6} \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln|x| \bigg|_1^6 = 6 \ln 6 - 6 \ln 1 = 6 \ln 6. \] Так как \( \ln 1 = 0 \), то результат: \[ 6 \ln 6 \approx 6 \cdot 1.791 = 10.746. \]
Теперь суммируем результаты: \[ S = 35 - 17.5 - 10.746 = 6.754. \] Округляя, получаем площадь: \[ S \approx 6.75. \]
Для построения графика изобразим две функции \( y = \frac{6}{x} \) и \( y = 7 - x \) на промежутке \( x \in [1; 6] \) и отметим область между ними — это будет искомая площадь.