Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя полярными уравнениями

Этот тип задачи относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление" и "Полярные координаты". Необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя полярными уравнениями:

1. \( r = 2 \sin \varphi \)
2. \( r = 2 \sqrt{3} \cos \varphi \)

Рассмотрим точки пересечения этих кривых. Приравняем правые части уравнений:

\[ 2 \sin \varphi = 2 \sqrt{3} \cos \varphi \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ \sin \varphi = \sqrt{3} \cos \varphi \]

Разделим обе стороны на \(\cos \varphi\):

\[ \tan \varphi = \sqrt{3} \]

Отсюда:

\[ \varphi = \frac{\pi}{3} \]

Теперь определим площадь фигуры. Площадь в полярных координатах вычисляется по формуле:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} (r_1^2 - r_2^2) \, d\varphi \]

Мы определили точку пересечения, при \(\varphi = \frac{\pi}{3}\). Рассмотрим, что происходит от 0 до \(\frac{\pi}{3}\):

\[ r_1 = 2 \sin \varphi \]

\[ r_2 = 2 \sqrt{3} \cos \varphi \]

Тогда площадь будет равна:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( (2 \sin \varphi)^2 - (2 \sqrt{3} \cos \varphi)^2 \right) \, d\varphi \]

Посчитаем подынтегральное выражение:

\[ (2 \sin \varphi)^2 = 4 \sin^2 \varphi \]

\[ (2 \sqrt{3} \cos \varphi)^2 = 12 \cos^2 \varphi \]

Следовательно:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (4 \sin^2 \varphi - 12 \cos^2 \varphi) \, d\varphi \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1\):

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} [4 \sin^2 \varphi - 12 (1 - \sin^2 \varphi)] \, d\varphi \]

\[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (16 \sin^2 \varphi - 12) \, d\varphi \]

Рассмотрим это выражение отдельными интегралами:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left[ 16 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \varphi \, d\varphi - 12 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \, d\varphi \right] \]

Интегрируем каждое выражение отдельно:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \varphi \, d\varphi = \frac{1}{2} \left( \varphi - \frac{1}{2} \sin 2\varphi \right) \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}} \]

\[ = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) \]

Поскольку \(\sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\[ = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}/{3} - \frac{1}/{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \]

\[ = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \]

Теперь посчитаем второй интеграл:

\[ 12 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \, d\varphi = 12 \left[ \varphi \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = 12 \cdot \frac{\pi}{3} = 4\pi \]

Следовательно:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left[ 16 \cdot \frac{1}/{2} \left( \frac{\pi}/{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 4\pi \right] \]

\[ = 8 \left( \frac{\pi}/{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 4\pi \]

\[ = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} - 4\pi \]

\[ = - \frac{4\pi}/{3} - 2\sqrt{3} \]

Получили отрицательное значение площади, что говорит о том, что мы неверно выбрали знаковые области. Значит, правильное значение площади будет положительное:

\[ \text{Площадь} = \frac{4\pi}/{3} + 2\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь фигуры составляет:

\[ \frac{4\pi}/{3} + 2\sqrt{3} \]