Вычислить площадь фигуры, которая ограничена параболой

Предмет задания: Математика, раздел — Интегральное исчисление.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена параболой \( y = \frac{x^2}{3} \) и прямой \( y = 3 \).

Пошаговое решение:

1. Находим точки пересечения графиков.

Решим уравнение, чтобы определить границы фигур:

\[ \frac{x^2}{3} = 3 \]

Умножим обе стороны уравнения на 3:

\[ x^2 = 9 \]

Найдём \( x \), взяв корень из обеих сторон:

\[ x = \pm 3 \]

Таким образом, графики пересекаются в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

2. Формула площади фигуры.

Площадь вычисляем как интеграл разности между верхней и нижней функцией на промежутке от \(-3\) до \(3\):

\[ S = \int_{-3}^{3} \left(3 - \frac{x^2}{3}\right) dx \]

3. Вычисление интеграла.

Разделим интеграл на два:

\[ S = \int_{-3}^{3} 3 \, dx - \int_{-3}^{3} \frac{x^2}{3} \, dx \]

3.1. Вычисляем \( \int_{-3}^{3} 3 \, dx \):

\[ \int_{-3}^{3} 3 \, dx = 3 \cdot \left[x\right]_{-3}^{3} = 3 \cdot (3 - (-3)) = 3 \cdot 6 = 18. \]

3.2. Вычисляем \( \int_{-3}^{3} \frac{x^2}{3} \, dx \):

\[ \int_{-3}^{3} \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{-3}^{3} x^2 \, dx. \]

Функция \( x^2 \) чётная, поэтому интеграл от \(-3\) до \(3\) равен удвоенному интегралу от \(0\) до \(3\):

\[ \int_{-3}^{3} x^2 \, dx = 2 \int_{0}^{3} x^2 \, dx. \]

Теперь найдём \( \int_{0}^{3} x^2 \, dx \):

\[ \int_{0}^{3} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9. \]

Подставляем в наш результат:

\[ \int_{-3}^{3} \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 9 = 6. \]

4. Находим площадь.

Теперь подставляем всё в формулу для площади:

\[ S = 18 - 6 = 12. \]

Ответ:

Площадь фигуры равна \( \mathbf{12} \) квадратных единиц.