Вычислить площадь фигуры, которая ограничена двумя кривыми, используя интегральный метод

Определение предмета и раздела:

Данная задача относится к предмету математика, конкретно к разделу аналитическая геометрия и интегральное исчисление. Нужно вычислить площадь фигуры, которая ограничена двумя кривыми, используя интегральный метод.

Шаг 1. Анализ данных:

Даны два уравнения:

1. $\text{(}y=(x+1{)}^2\text{)}$
2. $\text{(}{y}^2=x+1\text{)}$

Преобразуем уравнения для удобства:

1. $\text{(}y=(x+1{)}^2\text{)}$ — это парабола.
2. $\text{(}{y}^2=x+1\text{)}$, или $\text{(}y=\pm \sqrt{x+1}\text{)}$ — это полуокружность или аналог параболы.

Теперь найдем точки пересечения этих графиков.

Шаг 2. Точки пересечения:

Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем оба выражения для $\text{(}y\text{)}$:

$\text{[}(x+1{)}^2=\sqrt{x+1}\text{]}$

Возведем обе стороны в квадрат:

$\text{[}(x+1{)}^4=x+1\text{]}$

Разложим многочлен:

$\text{[}(x+1{)}^4-(x+1)=0\text{]}$

$\text{[}(x+1)((x+1{)}^3-1)=0\text{]}$

1. $\text{(}x+1=0\Rightarrow x=-1\text{)}$
2. $\text{(}(x+1{)}^3=1\Rightarrow x+1=1\Rightarrow x=0\text{)}$

Итак, $\text{(}x=-1\text{)}$ и $\text{(}x=0\text{)}$.

Шаг 3. Выражение разности между функциями:

Чтобы найти площадь фигуры между этими кривыми, берем разницу между верхней и нижней функциями на отрезке от $\text{(}x=-1\text{)}$ до $\text{(}x=0\text{)}$.

1. Верхняя функция: $\text{(}y=\sqrt{x+1}\text{)}$
2. Нижняя функция: $\text{(}y=(x+1{)}^2\text{)}$

Шаг 4. Составление интеграла:

Теперь запишем определенный интеграл для площади $\text{(}S\text{)}$:

$\text{[}S={\int }_{-1}^0[\sqrt{x+1}-(x+1{)}^2]dx\text{]}$

Шаг 5. Решение интеграла:

1. Интегрируем $\text{(}\sqrt{x+1}\text{)}$:
   $\text{[}\int \sqrt{x+1}dx=\frac{2}{3}(x+1{)}^{3/2}\text{]}$
2. Интегрируем $\text{(}(x+1{)}^2\text{)}$:
   $\text{[}\int (x+1{)}^{2}dx=\frac{(x+1{)}^3}{3}\text{]}$

Теперь подставляем пределы интегрирования:

$\text{[}S=[\frac{2}{3}(x+1{)}^{3/2}-\frac{(x+1{)}^3}{3}]{|}_{x=-1}^{x=0}\text{]}$

Шаг 6. Подсчет значений:

1. Подставляем $\text{(}x=0\text{)}$:
   $\text{[}\frac{2}{3}(0+1{)}^{3/2}-\frac{(0+1{)}^3}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\text{]}$
2. Подставляем $\text{(}x=-1\text{)}$:
   $\text{[}\frac{2}{3}(0{)}^{3/2}-\frac{(0{)}^3}{3}=0\text{]}$

Шаг 7. Ответ:

Площадь ограниченной фигуры:

$\text{[}S=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{]}$

Ответ:

Площадь фигуры равна $\text{(}\frac{1}{3}\text{)}$ квадратных единиц.