Вычислить площадь фигуры, которая ограничена двумя кривыми, используя интегральный метод

Определение предмета и раздела:

Данная задача относится к предмету математика, конкретно к разделу аналитическая геометрия и интегральное исчисление. Нужно вычислить площадь фигуры, которая ограничена двумя кривыми, используя интегральный метод.

Шаг 1. Анализ данных:

Даны два уравнения:

1. \( y = (x + 1)^2 \)
2. \( y^2 = x + 1 \)

Преобразуем уравнения для удобства:

1. \( y = (x + 1)^2 \) — это парабола.
2. \( y^2 = x + 1 \), или \( y = \pm \sqrt{x+1} \) — это полуокружность или аналог параболы.

Теперь найдем точки пересечения этих графиков.

Шаг 2. Точки пересечения:

Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем оба выражения для \( y \):

\[ (x + 1)^2 = \sqrt{x + 1} \]

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ (x + 1)^4 = x + 1 \]

Разложим многочлен:

\[ (x+1)^4 - (x+1) = 0 \]

\[ (x+1)((x+1)^3 - 1) = 0 \]

1. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
2. \( (x+1)^3 = 1 \Rightarrow x+1 = 1 \Rightarrow x = 0 \)

Итак, \( x = -1 \) и \( x = 0 \).

Шаг 3. Выражение разности между функциями:

Чтобы найти площадь фигуры между этими кривыми, берем разницу между верхней и нижней функциями на отрезке от \(x = -1\) до \(x = 0\).

1. Верхняя функция: \(y = \sqrt{x + 1}\)
2. Нижняя функция: \(y = (x + 1)^2\)

Шаг 4. Составление интеграла:

Теперь запишем определенный интеграл для площади \(S\):

\[ S = \int_{-1}^{0} \left[\sqrt{x + 1} - (x + 1)^2 \right] dx \]

Шаг 5. Решение интеграла:

1. Интегрируем \(\sqrt{x + 1}\):
   \[ \int \sqrt{x+1} dx = \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} \]
2. Интегрируем \((x + 1)^2\):
   \[ \int (x+1)^2 dx = \frac{(x+1)^3}{3} \]

Теперь подставляем пределы интегрирования:

\[ S = \left[\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - \frac{(x+1)^3}{3}\right] \Bigg|_{x=-1}^{x=0} \]

Шаг 6. Подсчет значений:

1. Подставляем \(x = 0\):
   \[ \frac{2}{3} (0+1)^{3/2} - \frac{(0+1)^3}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \]
2. Подставляем \(x = -1\):
   \[ \frac{2}{3} (0)^{3/2} - \frac{(0)^3}{3} = 0 \]

Шаг 7. Ответ:

Площадь ограниченной фигуры:

\[ S = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \]

Ответ:

Площадь фигуры равна \(\frac{1}{3}\) квадратных единиц.