Вычислить площадь фигуры

Условие:

Решение:

Предмет задания - математика, раздел предмета - интегральное исчисление. Задание состоит в следующем: необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя параболами \(y = k - x^2\) и \(y = -k + x^2\). Сначала найдем точки пересечения парабол. Для этого приравняем их правые части: \[ k - x^2 = -k + x^2 \] Отсюда получим \(2x^2 = 2k\), что упрощается до \(x^2 = k\). Таким образом, точки пересечения будут при \(x = \sqrt{k}\) и \(x = -\sqrt{k}\). Площадь фигуры между параболами находим как интеграл от разности функций в пределах от \(-\sqrt{k}\) до \(\sqrt{k}\): \[ A = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \left( (k - x^2) - (-k + x^2) \right) dx \] \[ A = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (2k - 2x^2) dx \] \[ A = 2 \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (k - x^2) dx \] \[ A = 2 \left[ kx - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \] \[ A = 2 \left( \left(k\sqrt{k} - \frac{(\sqrt{k})^3}{3}\right) - \left( -k\sqrt{k} - \frac{(-\sqrt{k})^3}{3} \right) \right) \] \[ A = 2 \left( 2k\sqrt{k} - \frac{2}{3}k\sqrt{k} \right) \] \[ A = 2 \left( \frac{6k\sqrt{k} - 2k\sqrt{k}}{3} \right) \] \[ A = 2 \left( \frac{4k\sqrt{k}}{3} \right) \] \[ A = \frac{8k\sqrt{k}}{3} \] Это и есть площадь фигуры, ограниченной данными параболами. Что касается чертежа, для визуализации задачи можно нарисовать две параболы, одну отраженную вверх на расстоянии \(k\) от горизонтальной оси, а вторую отраженную вниз на том же расстоянии. В качестве инструментов для создания чертежа могут быть использованы графические редакторы или бумага и карандаш для ручного рисования.