Вычислить площадь части поверхности параболоида

Задание 4:

"Вычислить площадь части поверхности параболоида: \( z = 4 - x^2 - y^2 \), если \( z \geq 0 \)."

Шаги решения:

1. Постановка задачи: У нас задан параболоид \( z = 4 - x^2 - y^2 \), и нужно найти поверхность, где \( z \geq 0 \). Это означает, что рассматривается верхняя часть параболоида, ограниченная горизонтальной плоскостью \( z = 0 \).
2. Проекция на плоскость \( Oxy \): Поверхность образуется на круге, проекция которого на плоскость \( Oxy \) ограничена за счёт того, что \( z = 0 \) соответствует уравнению: \[ 4 - x^2 - y^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + y^2 = 4. \] Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в начале координат.
3. Формула для площади поверхности: Площадь поверхности \( S \) задаётся через параметрическое описание поверхности и вычисляется по следующей формуле: \[ S = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy, \] где \( D \) — область на плоскости \( Oxy \), соответствующая кругу с радиусом 2.
4. Частные производные: Найдём частные производные функции \( z = 4 - x^2 - y^2 \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -2y. \] Тогда подкоренное выражение из формулы площади преобразуется следующим образом: \[ 1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = 1 + (-2x)^2 + (-2y)^2 = 1 + 4x^2 + 4y^2. \] В области \( D : x^2 + y^2 \leq 4 \), то есть на проекции, мы можем перейти к полярным координатам.
5. Переход в полярные координаты: Введём полярные координаты: \[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r^2 = x^2 + y^2. \] Тогда подкоренное выражение становится: \[ 1 + 4x^2 + 4y^2 = 1 + 4r^2. \] Интеграл для площади поверхности в полярных координатах: \[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \sqrt{1 + 4r^2} \cdot r \, dr \, d\theta. \]
6. Вычисляем интегралы: Внутренний интеграл по \( r \): \[ \int_0^2 \sqrt{1 + 4r^2} \cdot r \, dr. \] Подставляем замену \( u = 1 + 4r^2 \), тогда \( du = 8r \, dr \), и пределы преобразуются в \( u(0) = 1 \) и \( u(2) = 17 \). Интеграл становится: \[ \frac{1}{8} \int_1^{17} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \bigg|_1^{17} = \frac{1}{12} \left(17^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{1}{12} \left(17\sqrt{17} - 1\right). \]
7. Интеграл по углу \( \theta \): Интеграл по \( \theta \) будет просто \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \].
8. Ответ: Теперь умножаем результат по \( r \) на \( 2\pi \): \[ S = \frac{2\pi}{12} \left(17\sqrt{17} - 1\right) = \frac{\pi}{6} \left(17\sqrt{17} - 1\right). \] Это и будет искомая площадь поверхности.

Предмет этого задания - математический анализ, а раздел - кратные интегралы и криволинейные интегралы. Теперь давай разберём и решим задание номер 4: