Данный предмет — математический анализ, раздел — кратные интегралы, теория поверхностей и объемов.

Рассмотрим задачу №4. Задание: Вычислить площадь части поверхности цилиндра \( x^2 + z^2 = 9 \), заключенной между плоскостями \( y = x \) и \( y = x - 2 \).

Шаг 1: Выясним уравнение поверхности и границы

• У нас задано уравнение цилиндра в виде \( x^2 + z^2 = 9 \), что означает, что это круговой цилиндр с радиусом 3 и осью вдоль оси \(y\).
• Ось цилиндра параллельна оси \(y\), так как в уравнении нет \(y\).
• Границы по \(y\) даны плоскостями \( y = x \) и \( y = x - 2 \), что определяет область, в которой нужно вычислить площадь.

Шаг 2: Формула для площади поверхности

Формула для площади боковой поверхности цилиндра может быть записана через параметрическое уравнение этой поверхности. Для цилиндров площадь боковой поверхности можно найти через интеграл: \[ S = \int \int \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy \] В нашем случае, так как мы работаем с поверхностью цилиндра, частные производные переменной \( z \) по \( x \) и \( y \) равны нулю, т.к. \( z \) определяется только уравнением цилиндра и не зависит от \(y\).

Шаг 3: Параметризация поверхности

Поверхность цилиндра описывается в параметрической форме: \[ x = 3\cos \theta, \quad z = 3\sin \theta \] где \( \theta \) — параметр, пробегающий значения от \(0\) до \(2\pi\). Поскольку \(z\) вообще является функцией от \(x\), то рассмотри фрагмент цилиндра, а для вычисления его площади мы будем учитывать только диапазон проекции цилиндра на плоскость \(xy\) для заданных границ.

Шаг 4: Уточнение границ интегрирования

Границы по \( y \) заданы плоскостями \( y = x \) и \( y = x - 2 \). Под поверхностью цилиндра на \(xy\)-плоскости проецируется область, ограниченная этими плоскостями, но для цилиндра \( x \) в [-3, 3].

Теперь вычисляем