Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми заданными параметрическими уравнениями. Построить график.

Задание относится к разделу математики, а именно к вычислительной геометрии и математическому анализу.

Тут необходимо сначала определить фигуру, ограниченную параметрическими уравнениями, а потом вычислить площадь, ограниченную этими кривыми. Параметрические уравнения задают кривую, известную как циклоида: \[ x = 10(t - \sin t) \] \[ y = 10(1 - \cos t) \] и прямую линию \( y = 0 \) в интервале \( 0 < x < 20\pi \).

Чтобы построить циклоиду и посчитать площадь, выполним следующие шаги:

1. Построение графика. Параметрические уравнения описывают циклоиду, где \( t \) представляет параметр (обычно время), а \( x \) и \( y \) - координаты точки на плоскости. Циклоида получается путем откатывания колеса радиуса \( r \) по прямой без скольжения; в данном случае \( r = 5 \), т.к. \( 10 = 2r \). По условию график следует строить для \( 0 < x < 20\pi \), что соответствует двум полным оборотам колеса.
2. Вычисление площади. Площадь между циклоидой и осью \( x \) для одного оборота колеса можно найти через интеграл. Точнее, за один оборот \( t \) изменяется от 0 до \( 2\pi \). Чтобы найти площадь под одним "горбом" циклоиды, мы можем воспользоваться следующим интегралом: \[ A = \int_0^{2\pi} y(t) \, dx(t) \] где \( dx(t) \) – дифференциал \( x \) по \( t \), который равен \( dx(t) = x'(t) \, dt \). Найдем \( x'(t) \) и \( y(t) \): \[ x'(t) = \frac{dx}{dt} = 10(1 - \cos t) \] \[ y(t) = 10(1 - \cos t) \] Теперь подставим \( y(t) \) и \( x'(t) \) в интеграл: \[ A = \int_0^{2\pi} 10(1 - \cos t) \cdot 10(1 - \cos t) \, dt \] \[ A = 100 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt \] Данный интеграл можно решить аналитически, применив удвоенные углы или тригонометрические тождества. Но перед нами стоит задача найти площадь под всем графиком от \( 0 \) до \( 20\pi \), то есть за 10 оборотов колеса. Умножим полученное выражение на 10 для учета всех оборотов: \[ A_{total} = 10 \cdot A \]
3. Решение интеграла. Распишем данное выражение, используя тригонометрическое тождество для квадрата косинуса и применим методы интегрирования для получения значения площади. Итак, для демонстрации решения интеграла, давайте преобразуем выражение: \[ A = 100 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) \, dt \] Мы можем также использовать тождество \( \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} \) для упрощения интеграла перед его решением. После получения значения интеграла, умножим его на 10, чтобы найти полную площадь. Однако, имейте в виду, что для полного решения такого интеграла вам потребуется использовать техники ручного интегрирования или компьютерную алгебраическую систему.