Вычислить площадь поверхности цилиндра x^2 + z^2 = 9 ограниченного поверхностями y = x и y = x - 2

Давай разберём задачу из пункта 4.

Задача: Вычислить площадь части поверхности цилиндра, заданного уравнением \( x^2 + z^2 = 9 \), и ограниченного плоскостями \( y = x \) и \( y = x - 2 \).

Шаг 1: Параметризация цилиндра

Цилиндр имеет уравнение \( x^2 + z^2 = 9 \). Это уравнение описывает круг радиуса \( r = 3 \) в плоскости \( xz \) на любом уровне \( y \). Мы можем параметризовать поверхность цилиндра с помощью цилиндрических координат:

\[ x = 3\cos(\theta), \quad z = 3\sin(\theta) \]
где \( \theta \in [0, 2\pi] \). \( y \) остаётся свободной переменной, и она варьируется от одной плоскости к другой: \( y = x \) и \( y = x - 2 \).

Шаг 2: Найдём дифференциал площади поверхности цилиндра

Формула для вычисления площади поверхности параметрически заданной поверхности вычисляется через определитель якобиана. Для параметрической поверхности \( \mathbf{r}(u, v) \) дифференциал площади определяется как:

\[ dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv \]
Параметризуем нашу поверхность цилиндра:

\[ \mathbf{r}(\theta, y) = (3 \cos(\theta), y, 3 \sin(\theta)) \]
Выразим частные производные:

\[ \mathbf{r}_\theta = \frac{\partial}{\partial \theta}(3 \cos(\theta), y, 3 \sin(\theta)) = (-3 \sin(\theta), 0, 3 \cos(\theta)) \]
\[ \mathbf{r}_y = \frac{\partial}{\partial y}(3 \cos(\theta), y, 3 \sin(\theta)) = (0, 1, 0) \]
Теперь найдём внешнее произведение \( \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_y \):

\[ \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3\sin(\theta) & 0 & 3\cos(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (3\cos(\theta), 0, 3\sin(\theta)) \]
Модуль этого вектора:

\[ |\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_y| = \sqrt{(3 \cos(\theta))^2 + 0^2 + (3 \sin(\theta))^2} = \sqrt{9 \cos^2(\theta) + 9 \sin^2(\theta)} = 3 \]
Дифференциал площади равен:

\[ dS = 3 \, d\theta \, dy \]

Шаг 3: Пределы интегрирования

1. По переменной \( y \): Плоскости ограничивают движение \( y \). Первая плоскость \( y = x \), а вторая \( y = x - 2 \). Подставим \( x = 3 \cos(\theta) \) — получим ограничения на \( y \):

   \[ y \in [3 \cos(\theta) - 2, 3 \cos(\theta)] \]

2. По переменной \( \theta \): Угол \( \theta \) варьируется от \( -\pi/2 \) до \( \pi/2 \), поскольку нам нужна только часть цилиндра, где плоскости \( y = x \) и \( y = x - 2 \) ограничивают поверхность в правой части оси \( y \).

Шаг 4: Интеграл

Теперь мы можем записать интеграл для площади:

\[ S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{3 \cos(\theta) - 2}^{3 \cos(\theta)} 3 \, dy \, d\theta \]
Сначала вычислим интеграл по \( y \):

\[ \int_{3 \cos(\theta) - 2}^{3 \cos(\theta)} 3 \, dy = 3 \left( 3 \cos(\theta) - (3 \cos(\theta) - 2) \right) = 3 \cdot 2 = 6 \]
Получаем:

\[ S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 6 \, d\theta = 6 \left[ \theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 6 \cdot \left( \frac{\pi}{2} - \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right) = 6 \cdot \pi \]

Ответ: Площадь части поверхности цилиндра равна \( 6\pi \).