Вычислить площадь плоской пластинки, ограниченной данными линиями

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Найдем площадь плоской пластинки, ограниченной следующими линиями:

1. y = \sqrt{12 - x^2}
2. y = 2\sqrt{3} - \sqrt{12 - x^2}
3. x = 0, где x \geq 0.

Пошаговое решение:

1. Определим границы интегрирования

Линии y = \sqrt{12 - x^2} и y = 2\sqrt{3} - \sqrt{12 - x^2} пересекаются в точках, где их значения равны.
Приравняем их:
\sqrt{12 - x^2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{12 - x^2}.

Перенесем \sqrt{12 - x^2} в одну сторону:
2\sqrt{12 - x^2} = 2\sqrt{3}.

Разделим обе стороны на 2:
\sqrt{12 - x^2} = \sqrt{3}.

Возведем обе стороны в квадрат:
12 - x^2 = 3.

Найдем x^2:
x^2 = 9.

Следовательно, x = 3 (так как x \geq 0).

Таким образом, границы интегрирования: x \in [0; 3].

2. Выражение для площади

Площадь находится как разность между верхней и нижней функциями:
S = \int_{0}^{3} \left( \sqrt{12 - x^2} - \left( 2\sqrt{3} - \sqrt{12 - x^2} \right) \right) dx.

Упростим подынтегральное выражение:
S = \int_{0}^{3} \left( 2\sqrt{12 - x^2} - 2\sqrt{3} \right) dx.

3. Разделим интеграл на два

S = 2 \int_{0}^{3} \sqrt{12 - x^2} \, dx - 2\sqrt{3} \int_{0}^{3} 1 \, dx.

4. Вычислим первый интеграл

Интеграл \int \sqrt{12 - x^2} \, dx является стандартным и решается через замену:
x = \sqrt{12} \sin{t}, dx = \sqrt{12} \cos{t} \, dt, где t \in [0; \pi/2].

Тогда:
\sqrt{12 - x^2} = \sqrt{12} \cos{t}.

Интеграл принимает вид:
\int \sqrt{12 - x^2} \, dx = \int \sqrt{12} \cos{t} \cdot \sqrt{12} \cos{t} \, dt = 12 \int \cos^2{t} \, dt.

Используем формулу для косинуса:
\cos^2{t} = \frac{1 + \cos{2t}}{2}.

Тогда:
12 \int \cos^2{t} \, dt = 6 \int (1 + \cos{2t}) \, dt = 6 \left( t + \frac{\sin{2t}}{2} \right) + C.

Вернемся к переменной x и подставим пределы:
\int_{0}^{3} \sqrt{12 - x^2} \, dx = 6 \left[ t + \frac{\sin{2t}}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = 6 \cdot \frac{\pi}{2} = 6\pi.

5. Вычислим второй интеграл

\int_{0}^{3} 1 \, dx = [x]_{0}^{3} = 3.

6. Найдем площадь

Подставим все в формулу для площади:
S = 2 \cdot 6\pi - 2\sqrt{3} \cdot 3.

S = 12\pi - 6\sqrt{3}.

Ответ:

Площадь пластинки:
S = 12\pi - 6\sqrt{3}.