Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление, определенный интеграл

Нам дана область, ограниченная кривыми:
y = -x^2 + 8x
y = x^2 + 18x - 12

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых

Приравняем уравнения:
-x^2 + 8x = x^2 + 18x - 12

Перенесем все в одну сторону:
-x^2 + 8x - x^2 - 18x + 12 = 0

Упростим:
-2x^2 - 10x + 12 = 0

Домножим на -1:
2x^2 + 10x - 12 = 0

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
D = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 100 + 96 = 196

Корни:
x = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 2} = \frac{-10 \pm 14}{4}

Находим значения:
x_1 = \frac{-10 + 14}{4} = \frac{4}{4} = 1
x_2 = \frac{-10 - 14}{4} = \frac{-24}{4} = -6

Шаг 2: Вычислим площадь

Площадь находится по формуле:
S = \int\limits_{x_1}^{x_2} (y_{\text{верх}} - y_{\text{низ}}) \,dx

Здесь верхняя функция: y_{\text{верх}} = x^2 + 18x - 12
Нижняя функция: y_{\text{низ}} = -x^2 + 8x

Разность функций:
(x^2 + 18x - 12) - (-x^2 + 8x) = x^2 + 18x - 12 + x^2 - 8x = 2x^2 + 10x - 12

Тогда площадь:
S = \int\limits_{-6}^{1} (2x^2 + 10x - 12) \,dx

Шаг 3: Вычислим интеграл

Вычислим первообразную:
\int (2x^2 + 10x - 12) \,dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{10x^2}{2} - 12x
= \frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 12x

Подставим пределы x = -6 и x = 1:

F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 + 5(1)^2 - 12(1) = \frac{2}{3} + 5 - 12 = \frac{2}{3} - 7 = -\frac{19}{3}

F(-6) = \frac{2}{3}(-6)^3 + 5(-6)^2 - 12(-6)
= \frac{2}{3}(-216) + 5(36) + 72
= -\frac{432}{3} + 180 + 72
= -144 + 180 + 72 = 108

Теперь вычислим разность:
S = F(1) - F(-6) = -\frac{19}{3} - 108
= -\frac{19}{3} - \frac{324}{3} = -\frac{343}{3}

Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль:
S = \frac{343}{3} \approx 114.33

Ответ:

Площадь фигуры равна \frac{343}{3} или примерно 114.33 квадратных единиц.