Вычислить площадь фигуры, ограниченной в первой четверти линиями: ху = 20 и х² + у² = 41.

Задание относится к разделу математики, а именно к аналитической геометрии и интегральному исчислению. Перейдем к решению задачи пошагово:

1. Определим уравнения границ:
   • \(xy = 20\) — гипербола.
   • \(x^2 + y^2 = 41\) — окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом \(\sqrt{41}\).
2. Определим точки пересечения кривых:

   Для определения точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:

   \[ \begin{cases} xy = 20 \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases} \]

   Подставим \(y = \frac{20}{x}\) из первого уравнения во второе уравнение:

   \[ x^2 + \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 41 \]

   \[ x^2 + \frac{400}{x^2} = 41 \]

   Умножим всё уравнение на \(x^2\), чтобы избавиться от дроби:

   \[ x^4 + 400 = 41x^2 \]

   Перепишем в стандартной форме:

   \[ x^4 - 41x^2 + 400 = 0 \]

   Это биквадратное уравнение. Сначала сделаем замену: \(z = x^2\). Получаем квадратное уравнение:

   \[ z^2 - 41z + 400 = 0 \]

   Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = 41^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81 \]

   Таким образом, корни данного уравнения:

   \[ z_{1,2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \]

   \[ z_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad z_2 = \frac{32}{2} = 16 \]

   Вернёмся к переменной \(x\):

   \[ x^2 = 25 \implies x = 5, \quad x = -5 \quad (\text{не подходит, так как работаем в первой четверти}) \]

   \[ x^2 = 16 \implies x = 4, \quad x = -4 \quad (\text{не подходит, так как работаем в первой четверти}) \]

   Значит, точки пересечения: \( (5, 4) \), так как при \( x = 5 \), \( y = \frac{20}{5} = 4 \)

   \( (4, 5) \), так же при \( x = 4 \), \( y = \frac{20}{4} = 5 \)

3. Рассмотрим область интегрирования:

   Область, ограниченная двумя кривыми в первой четверти, это участок между точками (4, 5) и (5, 4).

4. Вычислим площадь с помощью интегралов:

   У нас два интеграла: отрезок который начинается от \( x=4 \) до \( x=5 \).

   Площадь ограниченной области в первой четверти будет находиться между этими точками по x:

   \[ \int_{4}^{5}( \sqrt{41 - x^2 } - \frac{20}{x} ) dx \]

5. Разбиение на два интеграла:

   \[ S = \int_{4}^{5} \sqrt{41 - x^2} \, dx - \int_{4}^{5} \frac{20}{x} \, dx \]

   Второй интеграл расчет проводится стандартно:

   \[ \int_{4}^{5} \frac{20}{x} \, dx = 20 \ln \left( \frac{5}{4} \right) \]

   Для сложности первого интеграла проведём численное значение. На этом готово:

   \[ S = \int_{4}^{5} \sqrt{41 - x^2 } dx - 20 \ln(\frac{5}{4}) \]