Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление".

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 1 \), необходимо произвести интегрирование. Однако, чтобы определить площадь, нужно знать границы интегрирования. Обычно площадь под параболой считается относительно оси \(x\), и нужно знать интервал \([a,b]\) для \(x\). Предположим, что нас интересует площадь между параболой и осью \(x\) на определенном интервале, например \([-1, 1]\).

1. Вспомним, что для вычисления площади под кривой \( y = f(x) \) от \(a\) до \(b\), нужно интегрировать функцию \( y = f(x)\) по \(x\) от \(a\) до \(b\): \[ A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
2. Подставим нашу функцию \( y = 3x^2 + 1 \): \[ A = \int_{-1}^{1} (3x^2 + 1) \, dx \]
3. Проведем интегрирование: Разделим интеграл на две части: \[ A = \int_{-1}^{1} 3x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} 1 \, dx \]
4. Интегрируем каждую часть отдельно: \[ \int_{-1}^{1} 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left[ x^3 \right]_{-1}^{1} = (1)^3 - (-1)^3 = 1 - (-1) = 2 \] \[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-1}^{1} = (1) - (-1) = 1 - (-1) = 2 \]
5. Складываем результаты: \[ A = 2 + 2 = 4 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 1 \) на интервале \([-1, 1]\), равна \( 4 \) единицам площади.