Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданнымив прямоугольной системе координат

Задание относится к предмету математика, а именно к разделу интегрального исчисления.

Мы вычисляем площадь фигуры, ограниченной определенными кривыми, через определённый интеграл.

Шаг 1. Определение границ интегрирования

Нам дана функция \( y = x^2 \cos x \) и \( y = 0 \) на интервале \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \). Площадь между графиком функции \( y = f(x) \) и осью \( x \) вычисляется как интеграл:

\[ A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx, \]

где \( a \) и \( b \) — это границы интегрирования, а \( f(x) \) — это функция, задающая верхнюю границу фигуры относительно оси \( x \). Наша функция — \( y = x^2 \cos x \), а границы \( a = 0 \) и \( b = \frac{\pi}{2} \).

Шаг 2. Запись площади через интеграл

Чтобы найти площадь, записываем интеграл для функции \( x^2 \cos x \):

\[ A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx. \]

Шаг 3. Интегрирование методом интегрирования по частям

Интеграл \( \int x^2 \cos x \, dx \) решаем методом интегрирования по частям. Для этого применим следующую формулу интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du. \]

Зададим:

• \( u = x^2 \), тогда \( du = 2x \, dx \),
• \( dv = \cos x \, dx \), тогда \( v = \sin x \).

Теперь применим формулу:

\[ \int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx. \]

Шаг 4. Интегрируем оставшийся интеграл

Интеграл \( \int 2x \sin x \, dx \) вновь решаем по частям. Зададим:

• \( u = 2x \), тогда \( du = 2 \, dx \),
• \( dv = \sin x \, dx \), тогда \( v = -\cos x \).

Применяя формулу, получаем:

\[ \int 2x \sin x \, dx = -2x \cos x + \int 2 \cos x \, dx. \]

Интеграл \( \int 2 \cos x \, dx \) решается тривиально:

\[ \int 2 \cos x \, dx = 2 \sin x. \]

Итак, окончательно:

\[ \int 2x \sin x \, dx = -2x \cos x + 2 \sin x. \]

Шаг 5. Собираем результат

Возвращаясь к исходному интегралу:

\[ \int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - (-2x \cos x + 2 \sin x), \]

то есть:

\[ \int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x. \]

Шаг 6. Подставляем границы интегрирования

Теперь нужно подставить пределы \( x = 0 \) и \( x = \frac{\pi}{2} \) в функцию \( x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x \).

1. Для \( x = \frac{\pi}{2} \):

\[ x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x = \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + 2 \times \frac{\pi}{2} \times \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - 2 \sin\left( \frac{\pi}{2} \right). \]

Так как \( \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \), а \( \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \), это выражение упрощается:

\[ \frac{\pi^2}{4} \times 1 + 0 - 2 \times 1 = \frac{\pi^2}{4} - 2. \]

2. Для \( x = 0 \):

\[ x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x = 0^2 \sin(0) + 2 \times 0 \times \cos(0) - 2 \sin(0) = 0. \]

Шаг 7. Результат

Теперь вычисляем конечную площадь:

\[ A = \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right) - 0 = \frac{\pi^2}{4} - 2. \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x^2 \cos x \) и осью \( x \) на интервале \( [0, \frac{\pi}{2}] \), равна:

\[ A = \frac{\pi^2}{4} - 2. \]