Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=2/x, y=x+1, y=0,x=3.

Этот вопрос относится к разделу математического анализа, точнее к вычислению площади фигуры при помощи интегралов.

Шаги решения данной задачи:

1. Определение точек пересечения кривых: Найдём точки пересечения заданных линий $\text{(}y=\frac{2}{x}\text{)}$ и $\text{(}y=x+1\text{)}$: $\text{[}\frac{2}{x}=x+1\text{]}$ Умножим уравнение на $\text{(}x\text{)}$ для избавления от знаменателя: $\text{[}2=x^2+x\text{]}$ $\text{[}{x}^2+x-2=0\text{]}$ Решаем данное квадратное уравнение: $\text{[}x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}\text{]}$ $\text{[}{x}_1=1(y=2),x_2=-2(y=-1)\text{]}$ В нашей области интереса рассматриваем $\text{(}x=1\text{)}$ и $\text{(}x=3\text{)}$ (по х от 1 до 3).
2. Построение интегралов: Разобьем интегралы на области от 1 до 3. Выразим площадь через интегралы: $\text{[}\text{Площадь}={\int }_1^{x_0}(x+1)dx+{\int }_{x_0}^3(\frac{2}{x})dx\text{]}$ где $\text{(}{x}_0\text{)}$ - это точка пересечения $\text{(}y=\frac{2}{x}\text{)}$ и $\text{(}y=x+1\text{)}$, то есть $\text{(}{x}_0=1\text{)}$.
3. Решение интегралов: Для первой части: $\text{[}{\int }_1^3(x+1)dx={(\frac{x^2}{2}+x)|}_1^3\text{]}$ $\text{[}=(\frac{3^2}{2}+3)-(\frac{1^2}{2}+1)\text{]}$ $\text{[}=(\frac{9}{2}+\frac{6}{2})-(\frac{1}{2}+\frac{2}{2})\text{]}$ $\text{[}=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=\frac{12}{2}=6\text{]}$ Для второй части: $\text{[}{\int }_1^3\frac{2}{x}dx=2{\ln x|}_1^3\text{]}$ $\text{[}=2(\ln 3-\ln 1)\text{]}$ $\text{[}=2\ln 3\text{]}$
4. Итоговая площадь: $\text{[}\text{Площадь}={\int }_1^3(\frac{2}{x}-(x+1))dx=2\ln 3-6\text{]}$ Ответ: b - $\text{(}2(\ln 3-1)\text{)}$.