Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=2/x, y=x+1, y=0,x=3.

Этот вопрос относится к разделу математического анализа, точнее к вычислению площади фигуры при помощи интегралов.

Шаги решения данной задачи:

1. Определение точек пересечения кривых: Найдём точки пересечения заданных линий \( y = \frac{2}{x} \) и \( y = x + 1 \): \[ \frac{2}{x} = x + 1 \] Умножим уравнение на \( x \) для избавления от знаменателя: \[ 2 = x^2 + x \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Решаем данное квадратное уравнение: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x_1 = 1 \, (y = 2), \quad x_2 = -2 \, (y = -1) \] В нашей области интереса рассматриваем \( x = 1 \) и \( x = 3 \) (по х от 1 до 3).
2. Построение интегралов: Разобьем интегралы на области от 1 до 3. Выразим площадь через интегралы: \[ \text{Площадь} = \int_{1}^{x_0} (x + 1) \, dx + \int_{x_0}^{3} (\frac{2}{x}) \, dx \] где \( x_0 \) - это точка пересечения \( y = \frac{2}{x} \) и \( y = x+1 \), то есть \( x_0 = 1 \).
3. Решение интегралов: Для первой части: \[ \int_{1}^{3} (x + 1) \, dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|_{1}^{3} \] \[ = \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right) - \left( \frac{1^2}{2} + 1 \right) \] \[ = \left(\frac{9}{2} + \frac{6}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{2}\right) \] \[ = \frac{15}{2} - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] Для второй части: \[ \int_{1}^{3} \frac{2}{x} \, dx = 2 \left. \ln x \right|_{1}^{3} \] \[ = 2 (\ln 3 - \ln 1) \] \[ = 2 \ln 3 \]
4. Итоговая площадь: \[ \text{Площадь} = \int_{1}^{3} ( \frac{2}{x} - (x + 1)) \, dx = 2 \ln 3 - 6 \] Ответ: b - \( 2(\ln 3 - 1) \).