Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = x^2 - 4, y = -3х.

Хорошо, давай решим это задание. Это задание из курса математики, а конкретно из раздела интегрального исчисления.

Дано: \[ y = x^2 - 4 \] \[ y = -3x \] Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков.

Для этого приравняем уравнения: \[ x^2 - 4 = -3x \] Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Найдем корни уравнения, используя формулу для решения квадратных уравнений \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -4\):

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Итак, получаем два корня:

\[ x = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x = \frac{-8}{2} = -4 \] Точки пересечения: (1, -3) и (-4, 12).

Шаг 2: Определим, какая функция является верхней, а какая нижней в промежутке \(x \in [-4, 1]\).

Для этого сравним значения функций в этом промежутке. Очевидно, что \(y = x^2 - 4\) будет выше \(y = -3x\) в данном интервале.

Шаг 3: Запишем общий интеграл для нахождения площади.

Площадь \(S\) между этими двумя кривыми в интервале от \(x = -4\) до \(x = 1\) можно найти по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \, dx \] Здесь \(f(x) = x^2 - 4\) (верхняя кривая), \(g(x) = -3x\) (нижняя кривая), \(a = -4\) и \(b = 1\).

\[ S = \int_{-4}^{1} \left( (x^2 - 4) - (-3x) \right) \, dx \] Упростим выражение под интегралом: \[ S = \int_{-4}^{1} (x^2 + 3x - 4) \, dx \]

Шаг 4: Найдем первообразную функции \(x^2 + 3x - 4\).

\[ \int (x^2 + 3x - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 4x \]

Шаг 5: Вычислим значение интеграла на отрезке от -4 до 1.

Подставим значения пределов интегрирования: \[ S = \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 4x \right) \right|_{-4}^{1} \]

\[ S = \left( \frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-4)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-4)^2}{2} - 4 \cdot (-4) \right) \] Рассчитаем значение для \(x = 1\): \[ \frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 1}{2} - 4 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{3} + \frac{9}{6} - \frac{24/6} = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} - \frac{12}{3} = \frac{1}{3} + 1.5 - 4 \approx 1.833 - 4 = -2.167 \] Рассчитаем значение для \(x = -4\): \[ \frac{-64}{3} + \frac{3 \cdot 16}{2} + 16 \] \[ \frac{-64}{3} + 24 + 16 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{-64}{3} + 40 \] \[ \frac{-64}{3} + \frac{120}{3} = \frac{56}{3} \approx 56 / 3 \approx 18.67 \] Итак:

\[ S = -2.167 - 18.67 = - 20,837 \] Но, так как площадь не может быть отрицательной, берем по модулю: \[ S = 20,837 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 4\) и \(y = -3x\), равна приблизительно \( \boxed{20,837} \) единиц площади.