Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =х2, у = -х+2

Задание относится к предмету математика, а точнее к разделу интегрального исчисления.

Требуется вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x^2 и y = -x + 2. Первым шагом необходимо найти точки пересечения данных кривых, для этого приравняем их уравнения: x^2 = -x + 2

Теперь решаем это квадратное уравнение: x^2 + x - 2 = 0

Дискриминант для данного квадратного уравнения определяется так: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

D > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Вычислим их: x1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± 3) / 2

x1 = (−1 + 3) / 2 = 1

x2 = (−1 − 3) / 2 = −2

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = 1 и x = -2.

Это означает, что площадь фигуры ограничена этими значениями x. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной сверху функцией y = -x + 2 и снизу функцией y = x^2, мы должны проинтегрировать разность этих функций от -2 до 1:

S = ∫ от -2 до 1 (-x + 2 - x^2) dx

Это эквивалентно нахождению определённого интеграла:

S = ∫ от -2 до 1 (-x) dx + ∫ от -2 до 1 2 dx - ∫ от -2 до 1 x^2 dx

Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности:

• ∫ от -2 до 1 (-x) dx = [-x^2 / 2] от -2 до 1 = [-1^2 / 2] - [-(-2)^2 / 2] = -1/2 - (-2 / 2) = -1/2 + 2 = 3/2
• ∫ от -2 до 1 2 dx = [2x] от -2 до 1 = 2*1 - 2*(-2) = 2 + 4 = 6
• ∫ от -2 до 1 x^2 dx = [x^3 / 3] от -2 до 1 = [1^3 / 3] - [-2^3 / 3] = 1/3 - (-8/3) = 1/3 + 8/3 = 9/3 = 3

Теперь сложим результаты:

S = 3/2 + 6 - 3 = 3/2 + 3 = 4.5 + 3 = 7.5

Площадь фигуры, ограниченная кривыми y = x^2 и y = -x + 2, равна 7.5 квадратным единицам.