Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией р = √ sinф, ф€ [0, п].

Данное задание относится к предмету "математика", раздёлу "интегральное исчисление" и подразделу "вычисление площади фигур при полярных координатах".

Задача состоит в вычислении площади фигуры, ограниченной линией \( r = \sqrt{\sin \phi} \), где \( \phi \) принимается на отрезке от \( 0 \) до \( \pi \). Площадь области, ограниченной кривой в полярных координатах, вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\phi \]

Подставим заданную функцию \( r = \sqrt{\sin \phi} \) в эту формулу:

1. Поставим пределы интегрирования и выражение для \( r^2 \): \[ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left( \sqrt{\sin \phi} \right)^2 \, d\phi \]
2. Упростим подынтегральное выражение: \[ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin \phi \, d\phi \]

Теперь нужно вычислить интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \sin \phi \, d\phi \]

3. Определим первообразную функции \(\sin \phi\): \[ \int \sin \phi \, d\phi = -\cos \phi + C \]
4. Подставим пределы интегрирования: \[ \int_{0}^{\pi} \sin \phi \, d\phi = \left.-\cos \phi \right|_{0}^{\pi} \] \[ = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \] \[ = -(-1) - (-1) \] \[ = 1 + 1 \] \[ = 2 \]
5. Умножим это значение на \(\frac{1}{2}\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \] \[ = 1 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией \( r = \sqrt{\sin \phi} \) при \(\phi \in [0, \pi]\), равна \( 1 \) квадратной единице.