Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график

Условие:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график

Условие: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график

Решение:

Ваше задание относится к предмету "математика", разделу "интегралы и аналитическая геометрия". В нем необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y=x2+1\) и \(y+x=3\), а также построить график этих кривых.
Шаг 1: Нахождение точек пересечения кривых

Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения: \[y=x2+1\] и \[y=3x\]

Приравняем правые части уравнений: \[x2+1=3x\]

Решим это уравнение относительно \(x\): \[x2+x+13=0\] \[x2+x2=0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D=b24ac=1241(2)=1+8=9\]

Находим корни уравнения: \[x1,2=b±D2a=1±921=1±32\]

Таким образом, получаем два корня: \[x1=1\] \[x2=2\]

Теперь находим значения \(y\) для найденных \(x\):

Для \(x=1\): \[y=12+1=2\]

Для \(x=2\): \[y=(2)2+1=5\]

Таким образом, кривые пересекаются в точках \((1,2)\) и \((2,5)\).

Шаг 2: Вычисление площади фигур

Чтобы найти площадь фигур, вычислим интеграл разности функций в пределах от \(2\) до \(1\):

Площадь \(A\) равна: \[A=21((3x)(x2+1))dx\]

Упростим подынтегральное выражение: \[A=21(2xx2)dx\]

Теперь вычислим интеграл: \[A=212dx21xdx21x2dx\]

По отдельности посчитаем все три интеграла: \[212dx=2x|21=2(1)2(2)=2+4=6\] \[21xdx=x22|21=122(2)22=1/24/2=1/22=3/2\] Missing superscript or subscript argument

Теперь подставим полученные значения: \[A=6(32)3=6+323\] \[A=3+32\] \[A=3+1.5\] \[A=4.5\]

Итак, площадь ограниченной фигуры равна \(4.5\) квадратных единиц.

Шаг 3: Построение графика

Чтобы построить график кривых:

  1. График \(y=x2+1\): - Это парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось Oy в точке \((0,1)\).
  2. График \(y=3x\): - Это прямая линия с наклоном \(1\) пересекающая ось Oy в точке \((0,3)\) и ось Ox в точке \((3,0)\).

Также нанесем точки пересечения: \((1,2)\) и \((2,5)\).

График: После построения нужно обратить внимание, что площадь, которую определяет эта задача, будет находиться между двумя графиками в интервале от \(x=2\) до \(x=1\).

Unknown environment 'tikzpicture'

Это задание включает как аналитические расчеты, так и графическое представление для полной наглядности.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут