Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график

Ваше задание относится к предмету "математика", разделу "интегралы и аналитическая геометрия". В нем необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми $\text{(}y=x^2+1\text{)}$ и $\text{(}y+x=3\text{)}$, а также построить график этих кривых.

Шаг 1: Нахождение точек пересечения кривых

Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения: $\text{[}y=x^2+1\text{]}$ и $\text{[}y=3-x\text{]}$

Приравняем правые части уравнений: $\text{[}{x}^2+1=3-x\text{]}$

Решим это уравнение относительно $\text{(}x\text{)}$: $\text{[}{x}^2+x+1-3=0\text{]}$ $\text{[}{x}^2+x-2=0\text{]}$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $\text{[}D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9\text{]}$

Находим корни уравнения: $\text{[}{x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm 3}{2}\text{]}$

Таким образом, получаем два корня: $\text{[}{x}_1=1\text{]}$ $\text{[}{x}_2=-2\text{]}$

Теперь находим значения $\text{(}y\text{)}$ для найденных $\text{(}x\text{)}$:

Для $\text{(}x=1\text{)}$: $\text{[}y=1^2+1=2\text{]}$

Для $\text{(}x=-2\text{)}$: $\text{[}y=(-2{)}^2+1=5\text{]}$

Таким образом, кривые пересекаются в точках $\text{(}(1,2)\text{)}$ и $\text{(}(-2,5)\text{)}$.

Шаг 2: Вычисление площади фигур

Чтобы найти площадь фигур, вычислим интеграл разности функций в пределах от $\text{(}-2\text{)}$ до $\text{(}1\text{)}$:

Площадь $\text{(}A\text{)}$ равна: $\text{[}A={\int }_{-2}^1((3-x)-(x^2+1))dx\text{]}$

Упростим подынтегральное выражение: $\text{[}A={\int }_{-2}^1(2-x-x^2)dx\text{]}$

Теперь вычислим интеграл: $\text{[}A={\int }_{-2}^{1}2dx-{\int }_{-2}^{1}xdx-{\int }_{-2}^1{x}^{2}dx\text{]}$

По отдельности посчитаем все три интеграла: $\text{[}{\int }_{-2}^{1}2dx=2x{|}_{-2}^1=2(1)-2(-2)=2+4=6\text{]}$ $\text{[}{\int }_{-2}^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-2}^1=\frac{1^2}{2}-\frac{(-2{)}^2}{2}=\frac{1}{/}2-\frac{4}{/}2=\frac{1}{/}2-2=-\frac{3}{/}2\text{]}$ $\text{Missing superscript or subscript argument}$

Теперь подставим полученные значения: $\text{[}A=6-(-\frac{3}{2})-3=6+\frac{3}{2}-3\text{]}$ $\text{[}A=3+\frac{3}{2}\text{]}$ $\text{[}A=3+1.5\text{]}$ $\text{[}A=4.5\text{]}$

Итак, площадь ограниченной фигуры равна $\text{(}4.5\text{)}$ квадратных единиц.

Шаг 3: Построение графика

Чтобы построить график кривых:

1. График $\text{(}y=x^2+1\text{)}$: - Это парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось Oy в точке $\text{(}(0,1)\text{)}$.
2. График $\text{(}y=3-x\text{)}$: - Это прямая линия с наклоном $\text{(}-1\text{)}$ пересекающая ось Oy в точке $\text{(}(0,3)\text{)}$ и ось Ox в точке $\text{(}(3,0)\text{)}$.

Также нанесем точки пересечения: $\text{(}(1,2)\text{)}$ и $\text{(}(-2,5)\text{)}$.

График: После построения нужно обратить внимание, что площадь, которую определяет эта задача, будет находиться между двумя графиками в интервале от $\text{(}x=-2\text{)}$ до $\text{(}x=1\text{)}$.

$\text{Unknown environment 'tikzpicture'}$

Это задание включает как аналитические расчеты, так и графическое представление для полной наглядности.