Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, сделать график

Ваше задание относится к предмету "математика", разделу "интегралы и аналитическая геометрия". В нем необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 + 1 \) и \( y + x = 3 \), а также построить график этих кривых.

Шаг 1: Нахождение точек пересечения кривых

Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения: \[ y = x^2 + 1 \] и \[ y = 3 - x \]

Приравняем правые части уравнений: \[ x^2 + 1 = 3 - x \]

Решим это уравнение относительно \(x\): \[ x^2 + x + 1 - 3 = 0 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Находим корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = -2 \]

Теперь находим значения \(y\) для найденных \(x\):

Для \(x = 1\): \[ y = 1^2 + 1 = 2 \]

Для \(x = -2\): \[ y = (-2)^2 + 1 = 5 \]

Таким образом, кривые пересекаются в точках \( (1, 2) \) и \( (-2, 5) \).

Шаг 2: Вычисление площади фигур

Чтобы найти площадь фигур, вычислим интеграл разности функций в пределах от \(-2\) до \(1\):

Площадь \( A \) равна: \[ A = \int_{-2}^{1} \left( (3 - x) - (x^2 + 1) \right) \, dx \]

Упростим подынтегральное выражение: \[ A = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx \]

Теперь вычислим интеграл: \[ A = \int_{-2}^{1} 2 \, dx - \int_{-2}^{1} x \, dx - \int_{-2}^{1} x^2 \, dx \]

По отдельности посчитаем все три интеграла: \[ \int_{-2}^{1} 2 \, dx = 2x \Big|_{-2}^{1} = 2(1) - 2(-2) = 2 + 4 = 6 \] \[ \int_{-2}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}/2 - \frac{4}/2 = \frac{1}/2 - 2 = -\frac{3}/2 \] \[ \int_{-2}^{1} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{-2}^{1} = \frac{1}^3/3 - \frac{(-2)}^3/3 = \frac{1}/3 + \frac{8}/3 = 3 \]

Теперь подставим полученные значения: \[ A = 6 - \left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = 6 + \frac{3}{2} - 3 \] \[ A = 3 + \frac{3}{2} \] \[ A = 3 + 1.5 \] \[ A = 4.5 \]

Итак, площадь ограниченной фигуры равна \( 4.5 \) квадратных единиц.

Шаг 3: Построение графика

Чтобы построить график кривых:

1. График \( y = x^2 + 1 \): - Это парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось Oy в точке \( (0, 1) \).
2. График \( y = 3 - x \): - Это прямая линия с наклоном \( -1 \) пересекающая ось Oy в точке \( (0, 3) \) и ось Ox в точке \( (3, 0) \).

Также нанесем точки пересечения: \( (1, 2) \) и \( (-2, 5) \).

График: После построения нужно обратить внимание, что площадь, которую определяет эта задача, будет находиться между двумя графиками в интервале от \(x = -2\) до \( x = 1\).

\[ \begin{array}{c} \begin{tikzpicture}[scale=1.5] % оси координат \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-1) -- (0,6) node[above] {$y$}; % подписанные оси \node[below left] at (0,0) {$0$}; % график y = x^2 + 1 \draw[domain=-2.5:2.5, blue] plot (\x, {\x*\x + 1}) node[above] {$y = x^2 + 1$}; % график y = 3 - x \draw[red] (-2.5, 5.5) -- (2.5, 0.5) node[above right] {$y = 3 - x$}; % точки пересечения \fill[black] (1, 2) circle (1pt) node[above left] {$(1, 2)$}; \fill[black] (-2, 5) circle (1pt) node[above right] {$(-2, 5)$}; \end{tikzpicture} \end{array} \]

Это задание включает как аналитические расчеты, так и графическое представление для полной наглядности.