Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление (геометрические приложения интеграла)

Даны функции:
y = x^2 - 3x - 1
y = -2x + 1

Найдем точки пересечения графиков, решая уравнение:
x^2 - 3x - 1 = -2x + 1

Приведем к стандартному виду:
x^2 - 3x + 2x - 1 - 1 = 0
x^2 - x - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:
x^2 - x - 2 = 0
Разложим на множители:
(x - 2)(x + 1) = 0

Корни:
x = 2 и x = -1

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, по определенному интегралу:
S = \int_{-1}^{2} [(x^2 - 3x - 1) - (-2x + 1)] \,dx

Упростим подынтегральное выражение:
(x^2 - 3x - 1) + (2x - 1) = x^2 - x - 2

Вычислим интеграл:
\int (x^2 - x - 2) \,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x

Подставим пределы интегрирования:
\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{-1}^{2}

Вычислим значения:
Для x = 2:
\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2(2) = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = -\frac{10}{3}

Для x = -1:
\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1) = \frac{-1}{3} - \frac{1}{2} + 2
Приведем к общему знаменателю (6):
\frac{-2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{7}{6}

Теперь вычислим разность:
\left(-\frac{10}{3}\right) - \left(\frac{7}{6}\right) = -\frac{20}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2}

Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль:
S = \frac{9}{2}

Ответ:

Площадь фигуры равна \frac{9}{2} или 4.5 единиц площади.