Вычислить площадь части поверхности цилиндра x^2 + z^2 = 9, заключённой между плоскостями y = x b y = x - 2

Предмет: Математика, раздел: Кратные интегралы и теория поля.

Мы рассматриваем задачу №4, где нам нужно вычислить площадь части поверхности цилиндра \(x^2 + z^2 = 9\), заключенной между плоскостями \(y = x\) и \(y = x-2\).

Шаг 1: Переход к параметризации поверхности

Поверхность цилиндра, заданная уравнением \(x^2 + z^2 = 9\), можно переписать в параметрическом виде. Это позволяет выразить координаты точки на поверхности через параметр \(\phi\) (угол в полярной системе координат):

\[ x = 3\cos(\phi), \quad z = 3\sin(\phi) \]

Уравнение не зависит от \(y\), поэтому для параметризации можно выбрать \(y\) как второй параметр:

\[ \mathbf{r}(\phi, y) = (3\cos(\phi), y, 3\sin(\phi)). \]

Шаг 2: Ограничение по \(y\)

Плоскости \(y = x\) и \(y = x - 2\) задают ограничения для координаты \(y\). Заменяя \(x = 3\cos(\phi)\) в этих уравнениях, получаем:

1. \( y = 3\cos(\phi) \) (первое ограничение),
2. \( y = 3\cos(\phi) - 2 \) (второе ограничение).

Таким образом, изменяться \(y\) будет от \(y = 3\cos(\phi) - 2\) до \(y = 3\cos(\phi)\).

Шаг 3: Вычисление площади поверхности

Формула для площади параметрически заданной поверхности имеет вид:

\[ S = \int\int \|\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_y\| \, d\phi \, dy, \]

где \(\mathbf{r}_\phi\) и \(\mathbf{r}_y\) — частные производные радиус-вектора \(\mathbf{r}(\phi, y)\) по \(\phi\) и \(y\). Найдем производные:

\[ \mathbf{r}_\phi = \left(\frac{\partial}{\partial \phi} 3\cos(\phi), \frac{\partial}{\partial \phi} y, \frac{\partial}{\partial \phi} 3\sin(\phi)\right) = (-3\sin(\phi), 0, 3\cos(\phi)), \]

\[ \mathbf{r}_y = \left(\frac{\partial}{\partial y} 3\cos(\phi), \frac{\partial}{\partial y} y, \frac{\partial}{\partial y} 3\sin(\phi)\right) = (0, 1, 0). \]

Теперь вычислим векторное произведение \( \mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3\sin(\phi) & 0 & 3\cos(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-3\cos(\phi), 0, -3\sin(\phi)). \)

Рассчитаем модуль векторного произведения:

\( \|\mathbf{r}_\phi \times \mathbf{r}_y\| = \sqrt{(-3\cos(\phi))^2 + 0^2 + (-3\sin(\phi))^2} = \sqrt{9(\cos^2(\phi) + sin^2(\phi))} \)

Шаг 4: Интегрирование

Теперь площадь поверхности может быть вычислена по формуле:

\( S = \int_{\phi_1}^{\phi_2} \int_{y_1(\phi)}^{y_2(\phi)} dy \, d\phi. \)

Границы для \(y\) и \(phi\):

\( y_1(\phi) = 3\cos(\phi) - 2, \quad y_2(\phi) = 3\cos(\phi), \)

\( \phi \in [0, \pi]. \)

Интегрируем по \(y\):

\( \int_{y_1(\phi)}^{y_2(\phi)} dy = \left( 3\cos(\phi) - (3\cos(\phi) - 2) \right) = 2. \)

Теперь интегрируем по \(phi\):

\( S = \int_0^\pi 2 \, d\phi = 2\phi \Big|_0^\pi = 2\pi. \)

Ответ:

Площадь части поверхности цилиндра равна \(2\pi\).