Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезаемой цилиндром

Данное задание относится к предмету математика, а точнее к дифференциальной геометрии и разделу вычисления площадей поверхностей с помощью многомерных интегралов.

Задание:

Шаг 1: Параметризация параболоида

Уравнение параболоида дается как: \[ 2z = x^2 + y^2 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{x^2 + y^2}{2}. \] Переведем задачу в полярные координаты для удобства. Полярная координатная система задается следующими соотношениями: \[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta). \] В этом случае уравнение параболоида становится: \[ 2z = r^2 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{r^2}{2}. \] А уравнение цилиндра \(x^2 + y^2 = 1\) в полярных координатах становится: \[ r^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad r = 1. \] Таким образом, поверхность ограничена радиусом 1 в полярных координатах.

Шаг 2: Вычисление площади поверхности

Площадь поверхности можно найти с использованием следующей формулы для параметризованной поверхности: \[ A = \iint\limits_{D} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx\, dy. \] Нам нужно вычислить производные \(z = \frac{x^2 + y^2}{2}\) по \(x\) и \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = y. \] Подставляем это в формулу подкоренного выражения: \[ \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} = \sqrt{1 + x^2 + y^2}. \] Так как \(x^2 + y^2 = r^2\) в полярных координатах, это выражение упрощается до: \[ \sqrt{1 + r^2}. \] Теперь запишем площадь через полярные координаты: \[ A = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{1 + r^2} \, r \, dr \, d\theta, \] где \(r\) изменяется от 0 до 1, а \(\theta\) — от 0 до \(2\pi\).

Шаг 3: Интегрирование

Посчитаем внутренний интеграл по \(r\): \[ \int_0^1 \sqrt{1 + r^2} \, r \, dr. \] Чтобы решить этот интеграл, применим замену: \[ u = 1 + r^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2r \, dr. \] Тогда пределы интегрирования \(r = 0\) соответствует \(u = 1\), а \(r = 1\) соответствует \(u = 2\). Интеграл переписывается как: \[ \frac{1}{2} \int_1^2 \sqrt{u} \, du. \] Вычислим его: \[ \frac{1}{2} \int_1^2 u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \bigg|_1^2 = \frac{1}{3} \left(2^{3/2} - 1^{3/2}\right). \] Это равно: \[ \frac{1}{3} \left(2\sqrt{2} - 1\right). \] Теперь вернемся к полному интегралу. Внешний интеграл по \(\theta\) просто даст коэффициент \(2\pi\): \[ A = 2\pi \cdot \frac{1}{3} \left(2\sqrt{2} - 1\right). \] В итоге: \[ A = \frac{2\pi}{3} \left(2\sqrt{2} - 1\right), \] что является конечным ответом на задачу.

Ответ:

Площадь части поверхности параболоида, вырезаемой цилиндром, равна: \[ A = \frac{2\pi}{3} \left(2\sqrt{2} - 1\right). \]

Мы должны вычислить площадь части поверхности, заданной параболоидом \(2z = x^2 + y^2\), которая ограничена цилиндром \(x^2 + y^2 = 1\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн