Вычислить определённый интеграл с использованием метода интегрирования по частям

Предмет: Математика

Раздел предмета: Интегралы (определённые интегралы), метод интегрирования по частям

Нам нужно вычислить определённый интеграл \[ \int\limits_1^e x \ln\left(\frac{x}{3}\right) dx \] с использованием метода интегрирования по частям.

Шаг 1: Формулировка метода интегрирования по частям

Для интеграла вида: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du, \] мы выбираем \(u\) и \(dv\) так, чтобы упрощалось дальнейшее вычисление.

Шаг 2: Разделяем функцию \(x \ln\left(\frac{x}{3}\right)\) на \(u\) и \(dv\)

Пусть: \[ u = \ln\left(\frac{x}{3}\right), \quad dv = x \, dx. \]

Что мы сделаем дальше:

1. Найдём \(du\) и \(v\).
2. Подставим их в формулу для интеграции по частям.

Шаг 3: Найдём производную и первообразную

1. Для \(u = \ln\left(\frac{x}{3}\right)\):
   \[ u = \ln(x) - \ln(3), \]
   так как \(\ln\left(\frac{x}{3}\right) = \ln(x) - \ln(3)\).
   Производная: \[ du = \frac{1}{x} dx. \]
2. Для \(dv = x \, dx\): Первообразная: \[ v = \frac{x^2}{2}. \]

Шаг 4: Подстановка в формулу

Подставляем в формулу метода интегрирования по частям: \[ \int x \ln\left(\frac{x}{3}\right) dx = uv - \int v \, du. \]

Считаем \(uv\) и \(\int v \, du\):

1. \(uv = \frac{x^2}{2} \ln\left(\frac{x}{3}\right)\),
2. \(\int v \, du = \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{4}.\)

Подставляем: \[ \int x \ln\left(\frac{x}{3}\right) dx = \frac{x^2}{2} \ln\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{x^2}{4}. \]

Шаг 5: Вычисление определённого интеграла

Теперь подставляем пределы интегрирования \(x \in [1, e]\):
\[ \int\limits_1^e x \ln\left(\frac{x}{3}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} \ln\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{x^2}{4}\right]_1^e. \]

Вычислим в точке \(x = e\):

\[ \frac{e^2}{2} \ln\left(\frac{e}{3}\right) - \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{2} \cdot \left(1 - \ln(3)\right) - \frac{e^2}{4}. \]

Приведём к общему знаменателю:
\[ = \frac{e^2 (1 - \ln(3))}{2} - \frac{e^2}{4} = \frac{2e^2 (1 - \ln(3))}{4} - \frac{e^2}{4} = \frac{e^2 (2 - 2\ln(3) - 1)}{4} = \frac{e^2 (1 - 2\ln(3))}{4}. \]

Вычислим в точке \(x = 1\):

\[ \frac{1^2}{2} \ln\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{1^2}{4} = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{1}{4}. \]

Считаем \(\ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3)\):
\[ \frac{1}{2} (-\ln(3)) - \frac{1}{4} = -\frac{\ln(3)}{2} - \frac{1}{4}. \]

Шаг 6: Результат

Теперь вычитаем значения на концах отрезка:
\[ \int\limits_1^e x \ln\left(\frac{x}{3}\right) dx = \frac{e^2 (1 - 2\ln(3))}{4} - \left(-\frac{\ln(3)}{2} - \frac{1}{4}\right). \]

Упростим:
\[ = \frac{e^2 (1 - 2\ln(3))}{4} + \frac{\ln(3)}{2} + \frac{1}{4}. \]

Приведём всё к общему знаменателю (\(4\)):
\[ = \frac{e^2 (1 - 2\ln(3)) + 2\ln(3) + 1}{4}. \]

Окончательный ответ:

\[ \int\limits_1^e x \ln\left(\frac{x}{3}\right) dx = \frac{e^2 (1 - 2\ln(3)) + 2\ln(3) + 1}{4}. \]