Вычислить определённый интеграл по интервалу от A до B, где A и B соответствуют значениям

Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ (Интегралы).

Задание: Вычислить определённый интеграл по интервалу от A до B, где A и B соответствуют значениям \(x = 1\) и \(x = 2\), с учётом того, что \(y = x^2\).

Пояснение:

Нам дан интеграл: \[ \int (x + y) \, dx, \] где \( y = x^2 \).

Значения \( A \) и \( B \) соответствуют границам интегрирования: \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Сначала подставим \( y = x^2 \) в выражение под интегралом:

\[ \int (x + x^2) \, dx. \]

Из этого следует:

\[ \int (x + x^2) \, dx = \int x \, dx + \int x^2 \, dx. \]

Найдём каждый из этих интегралов:

1. \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2}. \]
2. \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}. \]

Объединяя, получаем общий интеграл:

\[ \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}. \]

Теперь подставим границы интегрирования \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Вычисляем значение интеграла при \( x = 2 \):

\[ \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} = \frac{4}{2} + \frac{8}{3} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}. \]

Вычисляем значение интеграла при \( x = 1 \):

\[ \frac{1^2}{2} + \frac{1^3}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}. \]

Теперь найдём разность значений интеграла на границах от \( x = 2 \) до \( x = 1 \):

\[ \frac{14}{3} - \frac{5}{6}. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{14}{3} = \frac{28}{6}, \]

поэтому:

\[ \frac{28}{6} - \frac{5}{6} = \frac{23}{6}. \]

Ответ:

Значение определённого интеграла равно:

\[ \frac{23}{6}. \]