Вычислить определённый интеграл методом подведения под знак дифференциала

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Задание: Вычислить определённый интеграл методом подведения под знак дифференциала. Дан интеграл: \[ \int_{3}^{6} \frac{dx}{\sqrt{4x + 1}} \]

Решение:

Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала. Для этого необходимо сделать замену переменной, чтобы упростить выражение под квадратным корнем.

Шаг 1: Сделаем замену переменной

Пусть: \[ t = \sqrt{4x + 1}. \]

Возведём в квадрат, чтобы выразить \(x\): \[ t^2 = 4x + 1 \implies x = \frac{t^2 - 1}{4}. \]

Теперь найдём дифференциал \(dx\): \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{t^2 - 1}{4} \right) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2}. \]

Следовательно: \[ dx = \frac{t}{2} dt. \]

Шаг 2: Найдём пределы интегрирования

При \(x = 3:\) \[ t = \sqrt{4(3) + 1} = \sqrt{13}. \]

При \(x = 6:\) \[ t = \sqrt{4(6) + 1} = \sqrt{25} = 5. \]

Шаг 3: Подставим замену в интеграл

Теперь заменяем переменные в интеграле: \[ \int_{3}^{6} \frac{dx}{\sqrt{4x + 1}} = \int_{\sqrt{13}}^{5} \frac{\frac{t}{2} dt}{t}. \]

Упрощаем выражение: \[ \int_{\sqrt{13}}^{5} \frac{t}{2t} dt = \int_{\sqrt{13}}^{5} \frac{1}{2} dt. \]

Шаг 4: Вычислим интеграл

Так как \(\frac{1}{2}\) — это константа, интегрирование превращается в: \[ \int_{\sqrt{13}}^{5} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{\sqrt{13}}^{5} dt = \frac{1}{2} [t]_{\sqrt{13}}^{5}. \]

Вычислим результат: \[ \frac{1}{2} [t]_{\sqrt{13}}^{5} = \frac{1}{2} \big(5 - \sqrt{13}\big). \]

Ответ: