Вычислить определённый интеграл методом интегрирования по частям

Задание относится к предмету математика, разделу математический анализ, тема - интегрирование по частям.

Необходимо вычислить определённый интеграл \(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arctg(x) dx\) методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du \]

Где \(u\) и \(dv\) — это части подынтегральной функции, которые мы выбираем таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы можно было вычислить.

1. Разделение на \(u\) и \(dv\):

Для функции \(\arctg(x)\), выгодно выбрать:

\[ u = \arctg(x) \quad \text{и} \quad dv = dx. \]

2. Найдём \(du\) и \(v\):

\[ u = \arctg(x) \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{1+x^2} dx, \]

\[ dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x. \]

3. Подставим в формулу:

\[ \int \arctg(x) \, dx = u \cdot v - \int v \, du = x \cdot \arctg(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx. \]

Теперь разберёмся со вторым интегралом:

\[ \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx. \]

4. Второй интеграл:

В этом случае подходит замена переменной:

\[ t = 1+x^2, \quad dt = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad x \, dx = \frac{dt}{2}. \]

Подставим:

\[ \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C. \]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[ \frac{1}{2} \ln|t| = \frac{1}{2} \ln(1+x^2). \]

5. Полный интеграл:

Теперь соберём всё вместе:

\[ \int \arctg(x) \, dx = x \cdot \arctg(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C. \]

Для определённого интеграла \(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arctg(x) dx\), подставим пределы:

\[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arctg(x) dx = \left[ x \cdot \arctg(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right]_{0}^{\frac{1}{2}}. \]

6. Вычисления:

Подставим верхний предел (\(x = \frac{1}{2}\)):

\[ \left(\frac{1}{2} \cdot \arctg\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\right) = \left(\frac{1}{2} \cdot \arctg\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{5}{4}\right)\right). \]

Подставим нижний предел (\(x = 0\)):

\[ \left(0 \cdot \arctg(0) - \frac{1}{2} \ln(1+0^2)\right) = 0. \]

Итог:

\[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arctg(x) dx = \frac{1}{2} \cdot \arctg\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{5}{4}\right). \]

Можно оставить результат в таком виде либо далее вычислить приближённое значение, если требуется.