Вычислить определённый интеграл функции на отрезке

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции \cos(2x) на отрезке [0, \frac{\pi}{4}]. Запишем это выражение:

 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx 

Решение:

1. Найдём первообразную функции \cos(2x):

   Из таблицы интегралов известно, что первообразная от \cos(kx) равна \frac{\sin(kx)}{k}. Здесь k = 2, поэтому:

    \int \cos(2x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{2} + C 

2. Подставим пределы интегрирования:

   Используем формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} 

   Это означает, что нужно вычислить значение первообразной в верхнем и нижнем пределе и найти разность.

3. Вычислим значения:

   • Для верхнего предела x = \frac{\pi}{4}:  \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1}{2} 

   • Для нижнего предела x = 0:  \frac{\sin(2 \cdot 0)}{2} = \frac{\sin(0)}{2} = 0 

4. Найдём разность:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} 

Ответ:

 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}