Вычислить определённый интеграл

Предмет и раздел

Это задание относится к математике, раздел интегральное исчисление. Метод, который нужно применить, называется интегрирование по частям.

Дано

Необходимо вычислить определённый интеграл: \[ \int_{1}^{e} x^2 \ln(x) \, dx \]

Формула интегрирования по частям

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выбираем, что взять за \( u \) и \( dv \).

Шаг 1. Выбор \( u \) и \( dv \)

В данном случае разумно взять:

• \( u = \ln(x) \), так как при дифференцировании \( \ln(x) \) становится проще: \( u' = \frac{1}{x} \),
• \( dv = x^2 \, dx \), так как \( \int x^2 dx \) легко вычислить.

Шаг 2. Вычисляем \( du \) и \( v \)

Дифференцируем \( u \) и интегрируем \( dv \):

\[ u = \ln(x), \quad du = \frac{1}{x} \, dx, \]

\[ dv = x^2 \, dx, \quad v = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}. \]

Шаг 3. Применяем формулу интегрирования по частям

\[ \int x^2 \ln(x) \, dx = u v - \int v \, du, \]

Подставляем значения \( u \), \( v \), \( du \):

\[ \int x^2 \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx. \]

Шаг 4. Упрощаем

\[ \int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx. \]

Осталось вычислить \(\int x^2 dx\):

\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}. \]

Подставляем:

\[ \int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3}. \]

\[ \int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9}. \]

Шаг 5. Вычисляем определённый интеграл

Теперь подставляем пределы интегрирования (\( 1 \) и \( e \)):

\[ \int_{1}^{e} x^2 \ln(x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9}\right]_{1}^{e}. \]

Сначала вычисляем при \( x = e \):

\[ \text{При \( x = e \):} \quad \frac{e^3}{3} \ln(e) - \frac{e^3}{9}. \]

Так как \(\ln(e) = 1\), имеем:

\[ \frac{e^3}{3} \cdot 1 - \frac{e^3}{9} = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9} = \frac{3e^3}{9} - \frac{e^3}{9} = \frac{2e^3}{9}. \]

Теперь вычисляем при \( x = 1 \):

\[ \text{При \( x = 1 \):} \quad \frac{1^3}{3} \ln(1) - \frac{1^3}{9}. \]

Так как \(\ln(1) = 0\), то:

\[ \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}. \]

Шаг 6. Находим разность

\[ \int_{1}^{e} x^2 \ln(x) \, dx = \frac{2e^3}{9} - \left(-\frac{1}{9}\right) = \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2e^3 + 1}{9}. \]

Ответ

\[ \int_{1}^{e} x^2 \ln(x) \, dx = \frac{2e^3 + 1}{9}. \]