Вычислить определенный интеграл в пределах от3пи/4 до пи функции Sinx

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Определённые интегралы

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции \sin x на отрезке от \frac{3\pi}{4} до \pi:

 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin x \, dx 

Шаг 1: Найдём первообразную функции \sin x

Первообразная (антипроизводная) функции \sin x равна:

 \int \sin x \, dx = -\cos x + C 

Шаг 2: Подставим пределы интегрирования

Подставим пределы x = \pi и x = \frac{3\pi}{4} в найденную первообразную:

 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) 

Шаг 3: Вычислим значения косинусов

• \cos(\pi) = -1
• \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Подставляем:

 -\cos(\pi) + \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -(-1) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} 

Ответ:

 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin x \, dx = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}