Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 3 функции x в квадрате

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Интегралы (определённые интегралы)

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции f(x) = x^2 на отрезке от 1 до 3.

Это записывается как:

\int_{1}^{3} x^2 \, dx

Шаг 1: Найдём первообразную функции x^2

Первообразная (антипроизводная) функции x^2 — это функция, производная которой равна x^2.

Из таблицы производных и интегралов:

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{где } n \ne -1

Применим это к x^2:

\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C

Шаг 2: Подставим пределы интегрирования

Теперь вычислим определённый интеграл:

 \int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} 

 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} 

Ответ:

\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \frac{26}{3}