Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

Это задание по математическому анализу, конкретно раздел интегрального исчисления, где требуется вычислить определенный интеграл с использованием разложения функции в ряд Тейлора и последующего почленного интегрирования. Дано:

\[ \int_{0}^{1/2} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{x^2} \, dx \]

Разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора

Начнем с разложения функции \(\ln(1 + t)\) в ряд Тейлора:

\[ \ln(1 + t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} t^n}{n} \]

В нашем случае \(t = x^2\), поэтому:

\[ \ln(1 + x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (x^2)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n}}{n} \]

Теперь подставим это в подынтегральную функцию:

\[ \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-2}}{n} \]

Почленное интегрирование ряда

Итак, наш интеграл превращается в сумму интегралов:

\[ \int_{0}^{1/2} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} \, dx = \int_{0}^{1/2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-2}}{n} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \int_{0}^{1/2} x^{2n-2} \, dx \]

Интеграл от \(x^{2n-2}\) вычисляется как:

\[ \int x^{2n-2} \, dx = \frac{x^{2n-1}}{2n-1} + C \]

С учётом пределов интегрирования от 0 до 1/2:

\[ \int_{0}^{1/2} x^{2n-2} \, dx = \left. \frac{x^{2n-1}}{2n-1} \right|_{0}^{1/2} = \frac{(1/2)^{2n-1}}{2n-1} \]

Тогда:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \int_{0}^{1/2} x^{2n-2} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot \frac{(1/2)^{2n-1}}{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (1/2)^{2n-1}}{n (2n-1)} \]

Оценка точности

Подсчитываем первые несколько членов этой суммы, чтобы убедиться, что наш результат имеет точность до 0.0001.

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (1/2)^{2n-1}}{n (2n-1)} \]

Для первых нескольких членов:

• \( n = 1 \): \[ \frac{(-1)^{1+1} (1/2)^{2 \cdot 1-1}}{1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)} = \frac{1 \cdot (1/2)}{1} = \frac{1}{2} \]
• \( n = 2 \): \[ \frac{(-1)^{2+1} (1/2)^{2 \cdot 2-1}}{2 \cdot (2 \cdot 2 - 1)} = \frac{-1 \cdot (1/2)^3}{2 \cdot 3} = \frac{-1}{16 \cdot 3} = -\frac{1}{48} \]
• \( n = 3 \): \[ \frac{(-1)^{3+1} (1/2)^{2 \cdot 3-1}}{3 \cdot (2 \cdot 3 - 1)} = \frac{1 \cdot (1/2)^5}{3 \cdot 5} = \frac{1}{96 \cdot 5} = \frac{1}{480} \]

Суммируем эти члены:

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{48} + \frac{1}{480} \approx 0.5000 - 0.0208 + 0.002083 \approx 0.4813 \]

Значит, с учетом первых нескольких членов ряда мы получили приближенное значение интеграла с точностью до 0.0001.

Окончательный ответ:

\[ \int_{0}^{1/2} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} \, dx \approx 0.4813 \]