Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001
Условие:
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда
Решение:
Этот запрос относится к разделу математического анализа. Задание состоит в вычислении определенного интеграла методом разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования. Дан интеграл:
\[ \int_{0}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{(1 + x^4)^3}} \]Для начала упростим подынтегральную функцию:
\[ \frac{1}{\sqrt{(1 + x^4)^3}} = (1 + x^4)^{-3/2} \]Теперь разложим функцию
\( (1 + x^4)^{-3/2} \)в ряд Тейлора. Напомним, что разложение функции
\( (1 + u)^\alpha \)в ряд Тейлора при малых
\( u \)имеет вид:
\[ (1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} u^2 + \frac{\alpha (\alpha - 1) (\alpha - 2)}{3!} u^3 + \cdots \]В нашем случае
\( u = x^4 \)и
\( \alpha = -3/2 \).Подставим эти значения:
\[ (1 + x^4)^{-3/2} = 1 - \frac{3}{2} x^4 + \frac{(-3/2)(-5/2)}{2} x^8 - \frac{(-3/2)(-5/2)(-7/2)}{6} x^{12} + \cdots \]Для достижения точности до 0.0001 рассчитаем первые несколько членов ряда и неучтенные члены оценим. Серия на текущем этапе:
\[ (1 + x^4)^{-3/2} = 1 - \frac{3}{2} x^4 + \frac{15}{8} x^8 - \frac{35}{16} x^{12} + \cdots \]Теперь нужно проинтегрировать каждый член ряда отдельно:
\[ \int_{0}^{1/2} (1 - \frac{3}{2} x^4 + \frac{15}{8} x^8 - \frac{35}{16} x^{12} + \cdots) \, dx \]Разобьем интеграл на части и вычислим:
\[ \int_{0}^{1/2} 1 \, dx = x \Big|_{0}^{1/2} = \frac{1}{2} \] \[ \int_{0}^{1/2} -\frac{3}{2} x^4 \, dx = -\frac{3}{2} \cdot \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{1/2} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{160} = -0.009375 \] \[ \int_{0}^{1/2} \frac{15}{8} x^8 \, dx = \frac{15}{8} \cdot \frac{x^9}{9} \Big|_{0}^{1/2} = \frac{15}{8} \cdot \frac{1}{512} \cdot \frac{1}{9} = \frac{15/8} \cdot \frac{1}{4608} = \frac{15}{36864} \approx 0.00040625 \] \[ \int_{0}^{1/2} -\frac{35}{16} x^{12} \, dx = -\frac{35}{16} \cdot \frac{x^{13}}{13} \Big|_{0}^{1/2} = -\frac{35/16} \cdot \frac{1}{8192} \cdot \frac{1}{13} = -\frac{35}{106496} \approx -0.000328125 \]Теперь суммируем все найденные члены:
\[ \frac{1}{2} - 0.009375 + 0.00040625 - 0.000328125 = 0.490703125 \]С учетом всех дополнительных членов примерно, точность достигается. Если требуется больше точности, следует включить больше членов ряда. Таким образом, значение интеграла с точностью до 0.0001:
\[ \int_{0}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{(1 + x^4)^3}} \approx 0.4907 \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку