Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001

Главная
Высшая математика
Интегралы
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001

Условие:

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

Условие: Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

Решение:

Этот запрос относится к разделу математического анализа. Задание состоит в вычислении определенного интеграла методом разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования. Дан интеграл:

\[\int_{0}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{(1 + x^{4})^{3}}} \]

Для начала упростим подынтегральную функцию:

\[\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{4})^{3}}} = (1 + x^{4})^{- 3 / 2} \]

Теперь разложим функцию

\((1 + x^{4})^{- 3 / 2} \)

в ряд Тейлора. Напомним, что разложение функции

\((1 + u)^{α} \)

в ряд Тейлора при малых

\(u \)

имеет вид:

\[(1 + u)^{α} = 1 + α u + \frac{α (α - 1)}{2!} u^{2} + \frac{α (α - 1) (α - 2)}{3!} u^{3} + \dots \]

В нашем случае

\(u = x^{4} \)

\(α = - 3 / 2 \)

Подставим эти значения:

\[(1 + x^{4})^{- 3 / 2} = 1 - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{(- 3 / 2) (- 5 / 2)}{2} x^{8} - \frac{(- 3 / 2) (- 5 / 2) (- 7 / 2)}{6} x^{12} + \dots \]

Для достижения точности до 0.0001 рассчитаем первые несколько членов ряда и неучтенные члены оценим. Серия на текущем этапе:

\[(1 + x^{4})^{- 3 / 2} = 1 - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{15}{8} x^{8} - \frac{35}{16} x^{12} + \dots \]

Теперь нужно проинтегрировать каждый член ряда отдельно:

\[\int_{0}^{1 / 2} (1 - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{15}{8} x^{8} - \frac{35}{16} x^{12} + \dots) d x \]

Разобьем интеграл на части и вычислим:

\[\int_{0}^{1 / 2} 1 d x = x |_{0}^{1 / 2} = \frac{1}{2} \]

\[\int_{0}^{1 / 2} - \frac{3}{2} x^{4} d x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{5}}{5} |_{0}^{1 / 2} = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{5} = - \frac{3}{160} = - 0.009375 \]

\[\int_{0}^{1 / 2} \frac{15}{8} x^{8} d x = \frac{15}{8} \cdot \frac{x^{9}}{9} |_{0}^{1 / 2} = \frac{15}{8} \cdot \frac{1}{512} \cdot \frac{1}{9} = \frac{15 / 8}{\cdot} \frac{1}{4608} = \frac{15}{36864} \approx 0.00040625 \]

\[\int_{0}^{1 / 2} - \frac{35}{16} x^{12} d x = - \frac{35}{16} \cdot \frac{x^{13}}{13} |_{0}^{1 / 2} = - \frac{35 / 16}{\cdot} \frac{1}{8192} \cdot \frac{1}{13} = - \frac{35}{106496} \approx - 0.000328125 \]

Теперь суммируем все найденные члены:

\[\frac{1}{2} - 0.009375 + 0.00040625 - 0.000328125 = 0.490703125 \]

С учетом всех дополнительных членов примерно, точность достигается. Если требуется больше точности, следует включить больше членов ряда. Таким образом, значение интеграла с точностью до 0.0001:

\[\int_{0}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{(1 + x^{4})^{3}}} \approx 0.4907 \]

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,0001

Условие:

Решение:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ: