Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Данный пример относится к математике, а именно к разделу математический анализ (интегрирование). Требуется вычислить определенный интеграл методом замены переменной. Интеграл имеет вид: \[ \int_{1}^{2} \frac{3x \, dx}{\sqrt{x - 0.5}} \]

Решим этот интеграл, применив замену переменной.

Решение:

1. Замена переменной: Пусть \( u = x - 0.5 \). Тогда: \[ du = dx, \quad x = u + 0.5. \]

   Пределы интегрирования при замене переменной изменятся следующим образом:

   • При \( x = 1 \): \( u = 1 - 0.5 = 0.5 \),
   • При \( x = 2 \): \( u = 2 - 0.5 = 1.5 \).

   Теперь наш интеграл записывается как: \[ \int_{0.5}^{1.5} \frac{3(u + 0.5) \, du}{\sqrt{u}} \].

2. Разделим на два слагаемых: Упростим выражение и разделим его на два интеграла: \[ \int_{0.5}^{1.5} \frac{3(u + 0.5)}{\sqrt{u}} \, du = \int_{0.5}^{1.5} \frac{3u}{\sqrt{u}} \, du + \int_{0.5}^{1.5} \frac{3 \cdot 0.5}{\sqrt{u}} \, du. \]

   Первый интеграл: \[ \frac{3u}{\sqrt{u}} = 3u^{\frac{1}{2}}, \] второй интеграл: \[ \frac{3 \cdot 0.5}{\sqrt{u}} = \frac{1.5}{\sqrt{u}} = 1.5u^{-\frac{1}{2}}. \]

   Теперь итоговый вид: \[ 3 \int_{0.5}^{1.5} u^{\frac{1}{2}} \, du + 1.5 \int_{0.5}^{1.5} u^{-\frac{1}{2}} \, du. \]

3. Интегрируем: Используем формулу интегрирования степенной функции: \[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1). \]

   Первый интеграл:

   \[ \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}. \]

   Подставляем пределы от \(0.5\) до \(1.5\): \[ 3 \int_{0.5}^{1.5} u^{\frac{1}{2}} \, du = 3 \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_{0.5}^{1.5} = 2 \left[ (1.5)^{\frac{3}{2}} - (0.5)^{\frac{3}{2}} \right]. \]

   Второй интеграл:

   \[ \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2u^{\frac{1}{2}}. \]

   Подставляем пределы: \[ 1.5 \int_{0.5}^{1.5} u^{-\frac{1}{2}} \, du = 1.5 \cdot 2 \left[ u^{\frac{1}{2}} \right]_{0.5}^{1.5} = 3 \left[ (1.5)^{\frac{1}{2}} - (0.5)^{\frac{1}{2}} \right]. \]

4. Подставляем значения:
   • Сначала вычисляем \((1.5)^{\frac{3}{2}}\) и \((0.5)^{\frac{3}{2}}\): \[ (1.5)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{1.5^3} = \sqrt{3.375} \approx 1.837. \] \[ (0.5)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{0.5^3} = \sqrt{0.125} \approx 0.354. \]
   • Теперь вычисляем \((1.5)^{\frac{1}{2}}\) и \((0.5)^{\frac{1}{2}}\): \[ (1.5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1.5} \approx 1.225. \] \[ (0.5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0.5} \approx 0.707. \]

   Теперь подставим все результаты:

   Первый интеграл: \[ 2 \left[ (1.5)^{\frac{3}{2}} - (0.5)^{\frac{3}{2}} \right] \approx 2 \left[ 1.837 - 0.354 \right] = 2 \cdot 1.483 = 2.966. \]

   Второй интеграл: \[ 3 \left[ (1.5)^{\frac{1}{2}} - (0.5)^{\frac{1}{2}} \right] \approx 3 \left[ 1.225 - 0.707 \right] = 3 \cdot 0.518 = 1.554. \]

5. Итоговый ответ: Суммируем оба результата: \[ 2.966 + 1.554 = 4.52. \]

Ответ: \[ \int_{1}^{2} \frac{3x}{\sqrt{x - 0.5}} \, dx \approx 4.52. \]