Вычислить определенный интеграл методом подведения под знак дифференциала

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Условие:

Необходимо вычислить определенный интеграл методом подведения под знак дифференциала:

\[ \int_{0}^{\pi/6} e^{\sin(x)}\cos(x) \, dx. \]

Решение:

Шаг 1. Идея метода подведения под знак дифференциала.

Метод подведения под знак дифференциала предполагает, что мы представляем функцию в подынтегральном выражении так, чтобы она стала результатом дифференцирования некоторой функции \( u \), а переменная \( x \) и её производные также упростились.

Шаг 2. Анализ структуры подынтегрального выражения.

Видим подынтегральную функцию:

\[ f(x) = e^{\sin(x)} \cos(x). \]

Заметим, что если рассмотреть производную от \( \sin(x) \), то

\[ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x). \]

Это подходит, потому что функция \( \cos(x) \) присутствует в подынтегральной функции и связана с производной \( \sin(x) \).

Шаг 3. Подводим под знак дифференциала.

Введём замену:

\[ t = \sin(x), \quad \text{откуда} \quad dt = \cos(x) \, dx. \]

В этом случае:

\[ \cos(x)dx = dt, \]

а пределы интегрирования меняются следующим образом:

• При \( x = 0 \): \( t = \sin(0) = 0 \),
• При \( x = \frac{\pi}{6} \): \( t = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \).

Теперь интеграл принимает вид:

\[ \int_{0}^{\pi/6} e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx = \int_{0}^{1/2} e^t \, dt. \]

Шаг 4. Вычисляем интеграл.

Интеграл \(\int e^t \, dt = e^t + C\). Для определённого интеграла:

\[ \int_{0}^{1/2} e^t \, dt = \left[e^t\right]_0^{1/2}. \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ \left[e^t\right]_0^{1/2} = e^{1/2} - e^0. \]

Учитывая, что \( e^0 = 1 \), получаем:

\[ e^{1/2} - 1 = \sqrt{e} - 1. \]

Ответ:

\[ \int_{0}^{\pi/6} e^{\sin(x)}\cos(x) \, dx = \sqrt{e} - 1. \]