Вычислить объём тела, ограниченный поверхностями: z = 1 - x^2; z = 1 - y^2; z = 0

Определение предмета и раздела

Изображенное задание относится к предмету "Высшая математика", а конкретнее — к разделу многомерные интегралы или кратные интегралы.

Решение задачи 2: "Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: \( z = 1 - x^2 \), \( z = 1 - y^2 \), \( z = 0 \)"

Шаг 1. Изучим структуру тела

Поверхности, заданные условиями:

1. \( z = 1 - x^2 \) — это параболоид, открытый вниз вдоль оси \( z \), опускающийся симметрично относительно оси \( x \);
2. \( z = 1 - y^2 \) — это параболоид, открытый вниз вдоль оси \( z \), опускающийся симметрично относительно оси \( y \);
3. \( z = 0 \) — это плоскость \( xy \)-плоскости.

Тело ограничено двумя пересекающимися параболоидными поверхностями и плоскостью \( z = 0 \). Формально, тело описывается системой неравенств:

\[ 0 \leq z \leq \min(1 - x^2, 1 - y^2). \]

Пересечение двух поверхностей \( z = 1 - x^2 \) и \( z = 1 - y^2 \) эквивалентно:

\[ 1 - x^2 = 1 - y^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = y^2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm y. \]

Следовательно, область \( xy \)-проекции — это квадрат с границами \( -1 \leq x \leq 1 \) и \( -1 \leq y \leq 1 \).

Шаг 2. Определение объема через двойной интеграл

Для вычисления объема воспользуемся двойным интегралом:

\[ V = \int\int_{D} z(x, y) \, dxdy, \]

где \( z(x, y) = \min(1 - x^2, 1 - y^2) \) описывает верхнюю границу тела, а \( D \), как уже указано, — это квадрат с границами \( -1 \leq x \leq 1 \) и \( -1 \leq y \leq 1 \). Но фактически из симметрии можно наблюдать, что тело симметрично относительно осей, поэтому можно вычислить объем четвертинки и затем умножить результат на 4.

Шаг 3. Вычисление объема четверти области

В области \( 0 \leq x \leq 1 \) и \( 0 \leq y \leq 1 \), интеграл имеет вид:

\[ V_{\text{четверть}} = \int_0^1 \int_0^1 \min(1 - x^2, 1 - y^2) \, dxdy. \]

Заметим, что в этой области \( 1 - x^2 \leq 1 - y^2 \), поэтому интеграл упрощается:

\[ V_{\text{четверть}} = \int_0^1 \int_0^x (1 - x^2) \, dydx + \int_0^1 \int_x^1 (1 - y^2) \, dydx. \]

Шаг 4. Вычисление интегралов

1. Для первого интеграла:

\[ \int_0^1 \int_0^x (1 - x^2) \, dydx = \int_0^1 (1 - x^2)x \, dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right) \right|_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. \]

2. Для второго интеграла:

\[ \int_0^1 \int_x^1 (1 - y^2) \, dydx = \int_0^1 \left[ y - \frac{y^3}{3} \right]_x^1 dx = \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{3} - x + \frac{x^3}{3} \right) dx. \]

Рассчитаем этот интеграл:

\[ \int_0^1 \left( \frac{2}{3} - x + \frac{x^3}{3} \right) dx = \left[ \frac{2}{3}x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{12} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5/12}. \]

Шаг 5. Итоговый объем

Объем четверти:

\[ V_{\text{четверть}} = \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. \]

Объем всего тела:

\[ V = 4 \cdot V_{\text{четверть}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}. \]

Ответ:

Объем тела равен \( \frac{8}{3} \).